確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、以下の確率を求めます。 (1) $P(Z \le 1)$ (2) $P(Z \ge 0.5)$ (3) $P(-2 \le Z \le -1)$ (4) $P(|Z| \le 1)$ 標準正規分布表または関数電卓を用いて計算することを前提とします。標準正規分布表では通常、 $P(0 \le Z \le z)$ の値が与えられています。この値を $\Phi(z)$ とします。また、$P(Z \le z)$ の値を $\Psi(z)$ とします。$\Psi(z)$ は標準正規分布の累積分布関数です。

1. 問題の内容

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、以下の確率を求めます。

(1) $P(Z \le 1)$

(2) $P(Z \ge 0.5)$

(3) $P(-2 \le Z \le -1)$

(4) $P(|Z| \le 1)$

標準正規分布表または関数電卓を用いて計算することを前提とします。標準正規分布表では通常、 $P(0 \le Z \le z)$ の値が与えられています。この値を $\Phi(z)$ とします。また、$P(Z \le z)$ の値を $\Psi(z)$ とします。$\Psi(z)$ は標準正規分布の累積分布関数です。

2. 解き方の手順

(1) $P(Z \le 1)$

$\Psi(1)$ を求めます。標準正規分布表から、$\Psi(1) \approx 0.8413$ です。

(2) $P(Z \ge 0.5)$

$P(Z \ge 0.5) = 1 - P(Z < 0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$ です。

$\Psi(0.5)$ を求めます。標準正規分布表から、$\Psi(0.5) \approx 0.6915$ です。

したがって、$P(Z \ge 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$ です。

(3) $P(-2 \le Z \le -1)$

$P(-2 \le Z \le -1) = P(Z \le -1) - P(Z < -2) = P(Z \le -1) - P(Z \le -2)$ です。

$P(Z \le -1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - \Psi(1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$ です。

$P(Z \le -2) = 1 - P(Z \le 2) = 1 - \Psi(2) \approx 1 - 0.9772 = 0.0228$ です。

したがって、$P(-2 \le Z \le -1) = 0.1587 - 0.0228 = 0.1359$ です。

(4) $P(|Z| \le 1)$

$P(|Z| \le 1)$ は $P(-1 \le Z \le 1)$ と同じです。

$P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z < -1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1)$ です。

$P(Z \le 1) = \Psi(1) \approx 0.8413$ です。

$P(Z \le -1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - \Psi(1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$ です。

したがって、$P(-1 \le Z \le 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826$ です。

3. 最終的な答え

(1) $P(Z \le 1) \approx 0.8413$

(2) $P(Z \ge 0.5) \approx 0.3085$

(3) $P(-2 \le Z \le -1) \approx 0.1359$

(4) $P(|Z| \le 1) \approx 0.6826$