日本人19歳女性の身長 $X$ は正規分布 $N(159, 5^2)$ に従うとする。 (1) 確率変数 $X$ を基準化せよ。 (2) 正規分布 $N(159, 5^2)$ の確率密度関数を $f(x)$ とする。7つの点 $(x, f(x))$ ($x = 159, 159 \pm 5, 159 \pm 10, 159 \pm 15$) をプロットすることによって、$y = f(x)$ のグラフの概形を描け。ただし、$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.40, e^{-\frac{1}{2}} \approx 0.61, e^{-2} \approx 0.14, e^{-\frac{9}{2}} \approx 0.01$ を用いよ。 (3) 身長が155cmのAさんは19歳女性全体の中で下位何%に位置しているか。

1. 問題の内容

日本人19歳女性の身長 $X$ は正規分布 $N(159, 5^2)$ に従うとする。

(1) 確率変数 $X$ を基準化せよ。

(2) 正規分布 $N(159, 5^2)$ の確率密度関数を $f(x)$ とする。7つの点 $(x, f(x))$ ($x = 159, 159 \pm 5, 159 \pm 10, 159 \pm 15$) をプロットすることによって、$y = f(x)$ のグラフの概形を描け。ただし、$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.40, e^{-\frac{1}{2}} \approx 0.61, e^{-2} \approx 0.14, e^{-\frac{9}{2}} \approx 0.01$ を用いよ。

(3) 身長が155cmのAさんは19歳女性全体の中で下位何%に位置しているか。

2. 解き方の手順

(1) 確率変数 $X$ を基準化するには、$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ という変換を行う。ここで、$\mu$ は平均、$\sigma$ は標準偏差である。この問題では、$\mu = 159$ であり、$\sigma = 5$ である。したがって、$X$ の基準化は以下のようになる。

$$Z = \frac{X - 159}{5}$$

(2) 正規分布 $N(159, 5^2)$ の確率密度関数は、

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

で与えられる。$\mu = 159$、$\sigma = 5$ を代入すると、

$$f(x) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-159)^2}{50}}$$

となる。与えられた値を用いて、$x = 159, 159 \pm 5, 159 \pm 10, 159 \pm 15$ での $f(x)$ の値を計算する。

* $x = 159$ のとき、$f(159) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^0 = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} \approx \frac{0.40}{5} = 0.08$

* $x = 159 \pm 5$ のとき、$f(159 \pm 5) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\pm 5)^2}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}} \approx \frac{0.40}{5} \times 0.61 = 0.08 \times 0.61 = 0.0488 \approx 0.049$

* $x = 159 \pm 10$ のとき、$f(159 \pm 10) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\pm 10)^2}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-2} \approx \frac{0.40}{5} \times 0.14 = 0.08 \times 0.14 = 0.0112 \approx 0.011$

* $x = 159 \pm 15$ のとき、$f(159 \pm 15) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\pm 15)^2}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{9}{2}} \approx \frac{0.40}{5} \times 0.01 = 0.08 \times 0.01 = 0.0008 \approx 0.001$

これらの点をプロットすることで、正規分布の概形を描ける。

(3) Aさんの身長は155cmである。$X = 155$ を基準化すると、$Z = \frac{155 - 159}{5} = \frac{-4}{5} = -0.8$ となる。標準正規分布表を用いて、$Z = -0.8$ より小さい値をとる確率を求めると、約0.2119である。したがって、Aさんは19歳女性全体の中で下位約21.19%に位置している。

3. 最終的な答え

(1) $Z = \frac{X - 159}{5}$

(2) グラフは省略

(3) 約21.19%