1つのサイコロを投げ、5以上の目が出たらコインを2枚、4以下の目が出たらコインを1枚獲得する。この試行を $n$ 回行った後、獲得したコインの合計枚数が偶数である確率を $p_n$ とする。$p_2$, $p_3$, $p_{n+1}$ を $p_n$ で表し、数列 $\{p_n\}$ の一般項 $p_n$ を求める。

1. 問題の内容

1つのサイコロを投げ、5以上の目が出たらコインを2枚、4以下の目が出たらコインを1枚獲得する。この試行を $n$ 回行った後、獲得したコインの合計枚数が偶数である確率を $p_n$ とする。$p_2$, $p_3$, $p_{n+1}$ を $p_n$ で表し、数列 $\{p_n\}$ の一般項 $p_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $p_2$ の計算:

2回の試行で合計枚数が偶数になるのは、

* 2回とも2枚獲得する場合

* 2回とも1枚獲得する場合

のいずれかである。

5以上の目が出る確率 (2枚獲得) は $2/6 = 1/3$。4以下の目が出る確率 (1枚獲得) は $4/6 = 2/3$。

したがって、

$p_2 = (1/3)(1/3) + (2/3)(2/3) = 1/9 + 4/9 = 5/9$

(2) $p_3$ の計算:

3回の試行で合計枚数が偶数になるのは、

* 3回の合計が0枚

* 3回の合計が2枚

* 3回の合計が4枚

* 3回の合計が6枚

となる場合である.

コインを2枚獲得する確率を$q = \frac{1}{3}$、1枚獲得する確率を$r = \frac{2}{3}$と置く。

合計が偶数になるのは、

* 2枚, 2枚, 2枚の順番で3回出る

* 2枚, 1枚, 1枚の順番で出る（並び方は3通り）

* 1枚, 1枚, 1枚の順番で出ることはない。

なので、

$p_3 = q^3 + 3q r^2 = (\frac{1}{3})^3 + 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{27} + 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{27} + \frac{12}{27} = \frac{13}{27}$

(3) $p_{n+1}$ を $p_n$ で表す:

$n+1$ 回の試行後に合計枚数が偶数になるのは、

* $n$ 回の試行後が偶数で、$(n+1)$ 回目に2枚獲得する

* $n$ 回の試行後が奇数で、$(n+1)$ 回目に1枚獲得する

のいずれかである。

$n$ 回の試行後が偶数である確率は $p_n$ であり、奇数である確率は $1-p_n$ である。

したがって、

$p_{n+1} = p_n (1/3) + (1-p_n) (2/3) = p_n/3 + 2/3 - 2p_n/3 = 2/3 - p_n/3$

(4) 数列 $\{p_n\}$ の一般項を求める:

$p_{n+1} = -\frac{1}{3} p_n + \frac{2}{3}$

$p_{n+1} - \alpha = -\frac{1}{3}(p_n - \alpha)$となる$\alpha$を求める。

$\alpha = -\frac{1}{3} \alpha + \frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}\alpha = \frac{2}{3}$

$\alpha = \frac{1}{2}$

$p_{n+1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}(p_n - \frac{1}{2})$

$p_1 = 2/3$

数列$\{p_n - \frac{1}{2}\}$は、初項$p_1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$、公比$-\frac{1}{3}$の等比数列である。

$p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} (-\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} (-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (-\frac{1}{3})^n = \frac{1}{2}[1+(-\frac{1}{3})^n]$

3. 最終的な答え

(1) $p_2 = \frac{5}{9}$

(2) $p_3 = \frac{13}{27}$

(3) $p_{n+1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}p_n$

(4) $p_n = \frac{1}{2}\left[1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right]$