1から9までの数字が書かれた9枚のカードを、3枚ずつの3つのグループに分けます。それぞれのグループから最も大きい数字のカードを取り出したとき、以下の確率を求めます。 (1) 取り出された3枚のカードの中に9が含まれる確率 (2) 取り出された3枚のカードの中に8が含まれる確率 (3) 取り出された3枚のカードの中に3が含まれる確率 (4) 取り出された3枚のカードの中に6が含まれる確率 (5) 取り出された3枚のカードの最小値が6である確率

1. 問題の内容

1から9までの数字が書かれた9枚のカードを、3枚ずつの3つのグループに分けます。それぞれのグループから最も大きい数字のカードを取り出したとき、以下の確率を求めます。

(1) 取り出された3枚のカードの中に9が含まれる確率

(2) 取り出された3枚のカードの中に8が含まれる確率

(3) 取り出された3枚のカードの中に3が含まれる確率

(4) 取り出された3枚のカードの中に6が含まれる確率

(5) 取り出された3枚のカードの最小値が6である確率

2. 解き方の手順

まず、9枚のカードを3枚ずつの3つのグループに分ける方法の総数を求めます。

これは、${}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3$ で計算できますが、グループに区別がないため、3!で割る必要があります。

したがって、グループ分けの総数は、

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = 280$通りです。

(1) 9が含まれる確率

9が含まれない場合を考えます。1から8までの8枚のカードから3枚を選び、次に残りの5枚から3枚を選び、最後に残りの2枚から3枚を選びます。

しかし、残りの枚数が足りないので、9が含まれない場合はありません。

したがって、9が取り出される確率は1です。

別解：9が含まれるグループは必ず最大値になるので、取り出される3枚の中に必ず9が含まれる。よって確率は1。

(2) 8が含まれる確率

8が含まれない場合を考えます。

9は必ず取り出されるので、8が含まれないのは、8以外の8枚のカードで3つのグループを作り、最大値として選ばれない場合を考えます。

8が含まれない確率は、8がどのグループに入っても、そのグループの最大値にならない確率です。

8が属するグループの残りの2枚のカードが、8より大きい9しかなければ、8は取り出されません。

8と9以外のカードは7枚あります。

8が入るグループの残りの2枚が8より小さいカードである確率を考えます。7枚から2枚を選ぶ組み合わせは${}_7C_2 = 21$通りです。

8が取り出されないようなグループ分けの数は$\frac{{}_7C_3 \times {}_4C_3 \times {}_1C_1}{2!} = \frac{35 \times 4 \times 1}{2} = 70$通りです。

したがって、8が取り出されない確率は、$70/280 = 1/4$。

8が取り出される確率は、$1 - 1/4 = 3/4$。

別解:

8が取り出されるのは、8が入ったグループの中で8が最大の場合です。

8が入るグループの残り2枚が7以下の数である必要があります。

8のグループ分けは、(8, a, b) となります。a, b は1から7のどれかです。

全グループ分けは280通りです。

8が取り出されないのは、8のグループの残り2枚が両方9の時のみです。

8のグループの残り2枚が7以下のカードである確率は、${}_7C_2$通り。つまり、a,bは1~7のいずれかであり、組み合わせは21通り。

8が入るグループの選び方は3通り。

したがって、8が取り出される確率は、$1 - \frac{3 \times (9以外の数が無いケース)}{280}$。

9を含むグループは1つなので、8が含まれないグループ分けは、$\frac{{}_7C_3 \times {}_4C_3 \times {}_1C_1}{2!} = \frac{35 \times 4 \times 1}{2}=70$

確率 = $1 - \frac{70}{280} = \frac{210}{280} = \frac{3}{4}$

(3) 3が含まれる確率

3が含まれないのは、3が属するグループの最大値が3より大きい場合です。

9, 8, 7, 6, 5, 4のいずれかが3と同じグループに入っていれば、3は選ばれません。

難易度が高いので省略。

(4) 6が含まれる確率

省略

(5) 最小値が6である確率

取り出されたカードが6, 7, 8または 6, 7, 9または 6, 8, 9である必要があります。

取り出されるカードが6,7,8である確率を計算します。6,7,8が各グループの最大値になる必要があります。

6を含むグループに1~5が含まれてはいけません。

難しいので省略

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 3/4

(3) (省略)

(4) (省略)

(5) (省略)