3つの箱A, B, Cがある。箱Aには赤玉3個、白玉2個、箱Bには赤玉3個、白玉4個が入っている。箱Cは空である。箱Aと箱Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し、箱Cに入れた。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 箱Cに赤玉が含まれる確率を求めよ。 (2) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉である確率を求めよ。 (3) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉であったとする。このとき、この赤玉が箱Aに入っていた赤玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

3つの箱A, B, Cがある。箱Aには赤玉3個、白玉2個、箱Bには赤玉3個、白玉4個が入っている。箱Cは空である。箱Aと箱Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し、箱Cに入れた。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 箱Cに赤玉が含まれる確率を求めよ。

(2) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉である確率を求めよ。

(3) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉であったとする。このとき、この赤玉が箱Aに入っていた赤玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 箱Cに赤玉が含まれる確率を求める。

箱Cに赤玉が含まれないのは、AからもBからも白玉を取り出す場合だけである。したがって、箱Cに赤玉が含まれる確率は、1からその確率を引いたものである。

Aから白玉を取り出す確率は $\frac{2}{5}$。

Bから白玉を取り出す確率は $\frac{4}{7}$。

AからもBからも白玉を取り出す確率は $\frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{35}$。

したがって、箱Cに赤玉が含まれる確率は $1 - \frac{8}{35} = \frac{27}{35}$。

(2) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉である確率を求める。

A, Bから取り出した玉の色によって場合分けをする。

(i) Aから赤玉、Bから赤玉を取り出す確率：$\frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{35}$。このとき、箱Cには赤玉2個が入っている。

(ii) Aから赤玉、Bから白玉を取り出す確率：$\frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{12}{35}$。このとき、箱Cには赤玉1個、白玉1個が入っている。

(iii) Aから白玉、Bから赤玉を取り出す確率：$\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$。このとき、箱Cには赤玉1個、白玉1個が入っている。

(iv) Aから白玉、Bから白玉を取り出す確率：$\frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{35}$。このとき、箱Cには白玉2個が入っている。

(i)の場合、箱Cから赤玉を取り出す確率は1。

(ii)の場合、箱Cから赤玉を取り出す確率は$\frac{1}{2}$。

(iii)の場合、箱Cから赤玉を取り出す確率は$\frac{1}{2}$。

(iv)の場合、箱Cから赤玉を取り出す確率は0。

したがって、箱Cから赤玉を取り出す確率は、

$\frac{9}{35} \times 1 + \frac{12}{35} \times \frac{1}{2} + \frac{6}{35} \times \frac{1}{2} + \frac{8}{35} \times 0 = \frac{9}{35} + \frac{6}{35} + \frac{3}{35} = \frac{18}{35}$。

(3) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉であったとする。このとき、この赤玉が箱Aに入っていた赤玉である確率を求める。

これは条件付き確率である。箱Cから赤玉を取り出す事象をR、Aから赤玉を取り出す事象をARとすると、求める確率は $P(AR|R) = \frac{P(AR \cap R)}{P(R)}$ である。

$P(R)$ は(2)で求めた $\frac{18}{35}$ である。

$P(AR \cap R)$ は、Aから赤玉を取り出し、かつ箱Cから赤玉を取り出す確率である。(2)の場合分けで考えると、Aから赤玉を取り出し、Bから赤玉を取り出す確率$\frac{9}{35}$と、Aから赤玉を取り出し、Bから白玉を取り出す確率$\frac{12}{35}$の半分$\frac{6}{35}$を足したものであるから、$\frac{9}{35}+\frac{6}{35}=\frac{15}{35}$ではない。

$P(AR \cap R)$ は、Aから赤玉を取り出し、箱Cから赤玉を取り出す確率である。(2)で計算した(i)と(ii)の確率を足し合わせればよい。ただし、(ii)の場合、箱Cに入っている赤玉が取り出される必要があるので、$\frac{12}{35} \times \frac{1}{2} = \frac{6}{35}$を足す。

したがって、$P(AR \cap R) = \frac{9}{35} + \frac{6}{35} = \frac{15}{35}$。

よって、$P(AR|R) = \frac{\frac{15}{35}}{\frac{18}{35}} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{27}{35}$

(2) $\frac{18}{35}$

(3) $\frac{5}{6}$