3つの選択肢から正解を1つ選ぶ問題が5問あります。5問すべてをでたらめに選択するとき、少なくとも1問が正解である確率と、3問以上正解である確率を求める問題です。

1. 問題の内容

3つの選択肢から正解を1つ選ぶ問題が5問あります。5問すべてをでたらめに選択するとき、少なくとも1問が正解である確率と、3問以上正解である確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1問で正解する確率は $\frac{1}{3}$ であり、間違える確率は $\frac{2}{3}$ です。

(1) 少なくとも1問が正解である確率を求めます。これは、すべての問題が不正解である確率を1から引くことで求められます。

すべての問題が不正解である確率は $(\frac{2}{3})^5$ なので、少なくとも1問が正解である確率は次の式で計算できます。

$1 - (\frac{2}{3})^5 = 1 - \frac{32}{243} = \frac{243 - 32}{243} = \frac{211}{243}$

(2) 3問以上正解である確率を求めます。これは、3問正解、4問正解、5問正解である確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせることで求められます。

* 3問正解の確率：

${}_5 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2 = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}$

* 4問正解の確率：

${}_5 C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

* 5問正解の確率：

${}_5 C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$

したがって、3問以上正解である確率は次の式で計算できます。

$\frac{40}{243} + \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{51}{243} = \frac{17}{81}$

3. 最終的な答え

少なくとも1問が正解である確率は $\frac{211}{243}$ です。

3問以上正解である確率は $\frac{17}{81}$ です。