ある島の原住民9人の上左側犬歯の長さを調べた結果、27.2 mm, 29.3 mm, 29.1 mm, 26.0 mm, 27.2 mm, 24.6 mm, 30.2 mm, 27.6 mm, 25.6 mmであった。このデータから、上左側犬歯の長さの平均の95%信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある島の原住民9人の上左側犬歯の長さを調べた結果、27.2 mm, 29.3 mm, 29.1 mm, 26.0 mm, 27.2 mm, 24.6 mm, 30.2 mm, 27.6 mm, 25.6 mmであった。このデータから、上左側犬歯の長さの平均の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{x}$ を計算する。

$\bar{x} = \frac{27.2+29.3+29.1+26.0+27.2+24.6+30.2+27.6+25.6}{9} = \frac{246.8}{9} \approx 27.42$

(2) 標本標準偏差 $s$ を計算する。

まず、各データと標本平均との差の二乗を計算する。

$(27.2 - 27.42)^2 = 0.0484$

$(29.3 - 27.42)^2 = 3.5344$

$(29.1 - 27.42)^2 = 2.8224$

$(26.0 - 27.42)^2 = 2.0164$

$(27.2 - 27.42)^2 = 0.0484$

$(24.6 - 27.42)^2 = 8.5264$

$(30.2 - 27.42)^2 = 7.7284$

$(27.6 - 27.42)^2 = 0.0324$

$(25.6 - 27.42)^2 = 3.3124$

これらの合計は $0.0484 + 3.5344 + 2.8224 + 2.0164 + 0.0484 + 8.5264 + 7.7284 + 0.0324 + 3.3124 = 28.0696$

標本分散 $s^2$ は、合計を自由度 $n-1 = 9-1 = 8$ で割ったもの。

$s^2 = \frac{28.0696}{8} = 3.5087$

標本標準偏差 $s = \sqrt{3.5087} \approx 1.87$

(3) 自由度 $n-1 = 8$ の $t$ 分布において、95%信頼区間に対応する $t$ 値 $t_{0.025, 8}$ を求める。$t_{0.025, 8} \approx 2.306$

(4) 信頼区間を計算する。

信頼区間は $\bar{x} \pm t_{0.025, 8} \frac{s}{\sqrt{n}}$ で求められる。

$27.42 \pm 2.306 \times \frac{1.87}{\sqrt{9}} = 27.42 \pm 2.306 \times \frac{1.87}{3} = 27.42 \pm 2.306 \times 0.6233 \approx 27.42 \pm 1.44$

下限は $27.42 - 1.44 = 25.98$

上限は $27.42 + 1.44 = 28.86$

3. 最終的な答え

95%信頼区間は [25.98, 28.86] (mm)