AとBの2チームが試合をし、1回の試合でAが勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Bが勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。引き分けはないものとする。先に3勝した方が優勝となるとき、Aが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2チームが試合をし、1回の試合でAが勝つ確率は$\frac{2}{3}$、Bが勝つ確率は$\frac{1}{3}$である。引き分けはないものとする。先に3勝した方が優勝となるとき、Aが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

Aが優勝する確率を計算するため、Aが3勝するまでに必要な試合数を考慮し、各ケースの確率を求めます。

- Aが3連勝する場合： $(\frac{2}{3})^3$

- Aが3勝し、Bが1勝する場合： Aが優勝するには、Aが3勝し、Bが1勝する必要があります。この場合、Aが最後に勝つ必要があります。例えば、AABA, ABAA, BAAA のようなケースがあります。したがって、$\binom{3}{1} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^1 = 3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})$

- Aが3勝し、Bが2勝する場合： Aが優勝するには、Aが3勝し、Bが2勝する必要があります。この場合、Aが最後に勝つ必要があります。したがって、$\binom{4}{2} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 6 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2$

Aが優勝する確率はこれらの合計となります。

$(\frac{2}{3})^3 + 3(\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3}) + 6(\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^2 = (\frac{2}{3})^3 (1 + 3(\frac{1}{3}) + 6(\frac{1}{9})) = \frac{8}{27} (1 + 1 + \frac{2}{3}) = \frac{8}{27} (2 + \frac{2}{3}) = \frac{8}{27} (\frac{8}{3}) = \frac{64}{81}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{81}$