A, B, C, D, E の5文字をすべて用いてできる文字列を辞書式順に並べる。 (1) 78番目の文字列は何か。 (2) ECBDA は何番目か。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の5文字をすべて用いてできる文字列を辞書式順に並べる。

(1) 78番目の文字列は何か。

(2) ECBDA は何番目か。

2. 解き方の手順

(1) 78番目の文字列を求める。

まず、5文字の並べ方は全部で $5! = 120$ 通りである。

1文字目がAであるものは $4! = 24$ 通り。

1文字目がBであるものは $4! = 24$ 通り。

1文字目がCであるものは $4! = 24$ 通り。

ここまでで $24 \times 3 = 72$ 通り。

したがって、78番目の文字列の1文字目はDである。

1文字目がDAであるものは $3! = 6$ 通り。

$72 + 6 = 78$ なので、78番目の文字列はDAで始まる。

DAの後は辞書順に並べればよいので、DAEBCとなる。

(2) ECBDAが何番目かを求める。

1文字目がAであるものは $4! = 24$ 通り。

1文字目がBであるものは $4! = 24$ 通り。

1文字目がCであるものは $4! = 24$ 通り。

1文字目がDであるものは $4! = 24$ 通り。

Eで始まるものは、さらに2文字目以降を考える。

2文字目がAであるものは $3! = 6$ 通り。

2文字目がBであるものは $3! = 6$ 通り。

2文字目がCであるものは、さらに3文字目以降を考える。

3文字目がAであるものは $2! = 2$ 通り。

3文字目がBであるものは $2! = 2$ 通り。

ECBDAはECBDAなので、ここまでの順位を足し合わせると

$24 \times 4 + 6 \times 2 + 2 \times 2 + 1 = 96 + 12 + 4 + 1 = 113$ となる。

3. 最終的な答え

(1) DAEBC

(2) 113番目