A, B, C, D, E の5文字をすべて用いてできる文字列を辞書式順に並べる。 (1) 78番目の文字列は何か。 (2) ECBDA は何番目か。

離散数学順列辞書式順場合の数文字列
2025/6/30

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の5文字をすべて用いてできる文字列を辞書式順に並べる。
(1) 78番目の文字列は何か。
(2) ECBDA は何番目か。

2. 解き方の手順

(1) 78番目の文字列を求める。
まず、5文字の並べ方は全部で 5!=1205! = 120 通りである。
1文字目がAであるものは 4!=244! = 24 通り。
1文字目がBであるものは 4!=244! = 24 通り。
1文字目がCであるものは 4!=244! = 24 通り。
ここまでで 24×3=7224 \times 3 = 72 通り。
したがって、78番目の文字列の1文字目はDである。
1文字目がDAであるものは 3!=63! = 6 通り。
72+6=7872 + 6 = 78 なので、78番目の文字列はDAで始まる。
DAの後は辞書順に並べればよいので、DAEBCとなる。
(2) ECBDAが何番目かを求める。
1文字目がAであるものは 4!=244! = 24 通り。
1文字目がBであるものは 4!=244! = 24 通り。
1文字目がCであるものは 4!=244! = 24 通り。
1文字目がDであるものは 4!=244! = 24 通り。
Eで始まるものは、さらに2文字目以降を考える。
2文字目がAであるものは 3!=63! = 6 通り。
2文字目がBであるものは 3!=63! = 6 通り。
2文字目がCであるものは、さらに3文字目以降を考える。
3文字目がAであるものは 2!=22! = 2 通り。
3文字目がBであるものは 2!=22! = 2 通り。
ECBDAはECBDAなので、ここまでの順位を足し合わせると
24×4+6×2+2×2+1=96+12+4+1=11324 \times 4 + 6 \times 2 + 2 \times 2 + 1 = 96 + 12 + 4 + 1 = 113 となる。

3. 最終的な答え

(1) DAEBC
(2) 113番目

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