箱Aに1個の玉が入っており、箱Bと箱Cには玉が入っていない。 以下の試行をn回行う。 (a) 箱Aまたは箱Bに玉が入っている場合 - 1または2の目が出たとき、玉が入っている箱から入っていない箱へ玉を移動させる - 3, 4, 5の目が出たとき、玉を箱Cに移動させる - 6の目が出たとき、玉を移動させない (b) 箱Cに玉が入っている場合、出た目によらず玉を移動させない (1) n回試行を行ったとき、箱Aまたは箱Bに玉が入っている確率を求めよ。 (2) n回試行を行ったとき、箱Aに玉が入っている確率を$p_n$とする。箱Bに玉が入っている確率を$p_n$, nの式で表せ。 (3) $p_{n+1}$を$p_n$, nの式で表せ。 (4) $2^n p_n = q_n$とおく。数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

箱Aに1個の玉が入っており、箱Bと箱Cには玉が入っていない。

以下の試行をn回行う。

(a) 箱Aまたは箱Bに玉が入っている場合

- 1または2の目が出たとき、玉が入っている箱から入っていない箱へ玉を移動させる

- 3, 4, 5の目が出たとき、玉を箱Cに移動させる

- 6の目が出たとき、玉を移動させない

(b) 箱Cに玉が入っている場合、出た目によらず玉を移動させない

(1) n回試行を行ったとき、箱Aまたは箱Bに玉が入っている確率を求めよ。

(2) n回試行を行ったとき、箱Aに玉が入っている確率を$p_n$とする。箱Bに玉が入っている確率を$p_n$, nの式で表せ。

(3) $p_{n+1}$を$p_n$, nの式で表せ。

(4) $2^n p_n = q_n$とおく。数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

箱Cに玉が入る確率を$c_n$とすると、箱Aまたは箱Bに玉が入る確率は$1-c_n$となる。

$c_0 = 0$

$n$回目に箱Aまたは箱Bに玉が入っていて、n+1回目に箱Cに玉が入る確率は$1-c_n$のとき、サイコロの目が3,4,5のいずれかが出れば良いので、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

$n$回目に箱Cに玉が入っていて、n+1回目に箱Cに玉が入る確率は1。

よって、

$c_{n+1} = (1-c_n)\frac{1}{2} + c_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} c_n$

$c_{n+1} - 1 = \frac{1}{2}(c_n - 1)$

$c_n - 1 = (c_0 - 1)(\frac{1}{2})^n = -(\frac{1}{2})^n$

$c_n = 1 - (\frac{1}{2})^n$

したがって、箱Aまたは箱Bに玉が入っている確率は$1 - c_n = (\frac{1}{2})^n$

(2)

箱Bに玉が入っている確率は、$(\frac{1}{2})^n - p_n$

(3)

$p_{n+1}$は、

- n回目に箱Aに玉が入っていて、1または2の目が出る確率 : $p_n * \frac{2}{6} = p_n * \frac{1}{3}$

- n回目に箱Bに玉が入っていて、1または2の目が出る確率 : $(\frac{1}{2})^n - p_n ) * \frac{2}{6} = ((\frac{1}{2})^n - p_n) * \frac{1}{3}$

よって

$p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}( (\frac{1}{2})^n - p_n ) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^n$

(4)

$q_n = 2^n p_n$より、$p_n = 2^{-n}q_n$。

$p_{n+1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^n$に代入すると、$2^{-(n+1)} q_{n+1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^n$

$q_{n+1} = 2^{n+1} \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^n = \frac{2}{3}$

$q_1 = 2^1 p_1 = 2 * \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^0 = \frac{2}{3}$

したがって、$q_n = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{1}{2})^n$

(2) $(\frac{1}{2})^n - p_n$

(3) $p_{n+1} = \frac{1}{3}(\frac{1}{2})^n$

(4) $q_n = \frac{2}{3}$