5人のハンドボール投げの記録が与えられており、その記録は$24, a, 28, b, c$（単位はm）である。 これらのデータは、以下の4つの性質を満たしている。 * $24 < a < 28 < b < c$ * 第3四分位数は33m * 平均値は29m * 分散は14 このとき、$a, b, c$の値を求める。

1. 問題の内容

5人のハンドボール投げの記録が与えられており、その記録は$24, a, 28, b, c$（単位はm）である。

これらのデータは、以下の4つの性質を満たしている。

* $24 < a < 28 < b < c$

* 第3四分位数は33m

* 平均値は29m

* 分散は14

このとき、$a, b, c$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、データを小さい順に並べると、$24, a, 28, b, c$となる。

(イ)より、第3四分位数は33mなので、$b=33$である。

(ウ)より、平均値は29mなので、

$\frac{24 + a + 28 + b + c}{5} = 29$

$24 + a + 28 + b + c = 145$

$b=33$を代入すると、

$24 + a + 28 + 33 + c = 145$

$a + c = 60$

$c = 60 - a$

(エ)より、分散は14なので、

$\frac{(24-29)^2 + (a-29)^2 + (28-29)^2 + (33-29)^2 + (c-29)^2}{5} = 14$

$\frac{25 + (a-29)^2 + 1 + 16 + (c-29)^2}{5} = 14$

$25 + (a-29)^2 + 1 + 16 + (c-29)^2 = 70$

$(a-29)^2 + (c-29)^2 = 28$

$c = 60 - a$を代入すると、

$(a-29)^2 + (60-a-29)^2 = 28$

$(a-29)^2 + (31-a)^2 = 28$

$a^2 - 58a + 841 + 961 - 62a + a^2 = 28$

$2a^2 - 120a + 1802 = 28$

$2a^2 - 120a + 1774 = 0$

$a^2 - 60a + 887 = 0$

解の公式より、

$a = \frac{60 \pm \sqrt{60^2 - 4 \cdot 887}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 3548}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{60 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 30 \pm \sqrt{13}$

$24 < a < 28$を満たすので、$a = 30 - \sqrt{13} \approx 30 - 3.605 = 26.395$

$c = 60 - a = 60 - (30 - \sqrt{13}) = 30 + \sqrt{13} \approx 30 + 3.605 = 33.605$

$28 < b < c$より、$b=33$なので、条件を満たしている。

3. 最終的な答え

$a = 30 - \sqrt{13}$

$b = 33$

$c = 30 + \sqrt{13}$