問題は2つあります。 (1) 加法定理を用いて、$\cos 75^\circ$ の値を求める。 (2) $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ であることを用いて、$\sin \frac{\pi}{12}$ と $\cos \frac{\pi}{12}$ の値を求める。

その他三角関数加法定理角度三角比
2025/6/30

1. 問題の内容

問題は2つあります。
(1) 加法定理を用いて、cos75\cos 75^\circ の値を求める。
(2) π12=π4π6\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} であることを用いて、sinπ12\sin \frac{\pi}{12}cosπ12\cos \frac{\pi}{12} の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) cos75\cos 75^\circ を加法定理を使って計算する。
75=45+3075^\circ = 45^\circ + 30^\circ であるから、cos75=cos(45+30)\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ)と表せる。
加法定理 cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta を用いると、
cos75=cos45cos30sin45sin30\cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ
cos45=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos30=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin45=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin30=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2} を代入すると、
cos75=22322212\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
cos75=624\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
(2) π12=π4π6\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} を用いて、sinπ12\sin \frac{\pi}{12}cosπ12\cos \frac{\pi}{12} の値を求める。
sinπ12=sin(π4π6)\sin \frac{\pi}{12} = \sin (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6})
加法定理 sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta を用いると、
sinπ12=sinπ4cosπ6cosπ4sinπ6\sin \frac{\pi}{12} = \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} - \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6}
sinπ4=22\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, cosπ6=32\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, cosπ4=22\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, sinπ6=12\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} を代入すると、
sinπ12=22322212\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
sinπ12=624\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
cosπ12=cos(π4π6)\cos \frac{\pi}{12} = \cos (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6})
加法定理 cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta を用いると、
cosπ12=cosπ4cosπ6+sinπ4sinπ6\cos \frac{\pi}{12} = \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6}
cosπ4=22\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, cosπ6=32\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sinπ4=22\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, sinπ6=12\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} を代入すると、
cosπ12=2232+2212\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
cosπ12=6+24\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

3. 最終的な答え

(1) cos75=624\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
(2) sinπ12=624\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, cosπ12=6+24\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

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