問題1は、自然数 $m$ に関する条件が、別の条件を満たすための必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに当てはまるかを問う問題です。 問題2は、命題「$a+b$ は無理数 $\Rightarrow a, b$ の少なくとも一方は無理数」の対偶を述べ、その真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

問題1は、自然数 $m$ に関する条件が、別の条件を満たすための必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに当てはまるかを問う問題です。

問題2は、命題「$a+b$ は無理数 $\Rightarrow a, b$ の少なくとも一方は無理数」の対偶を述べ、その真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $m$ が6で割り切れる $\Rightarrow$ $m$ は2で割り切れる。

これは真です。$m = 6k$ (kは整数)ならば、$m = 2(3k)$ となり、$m$は2で割り切れます。

$m$ が2で割り切れる $\Rightarrow$ $m$ は6で割り切れる。

これは偽です。例えば、$m=2$ は2で割り切れますが、6では割り切れません。

よって、$m$ が6で割り切れることは、$m$ が2で割り切れるための十分条件であるが必要条件ではありません。

(2) $m$ が2で割り切れる $\Rightarrow$ $m$ は素数である。

これは偽です。例えば、$m=4$ は2で割り切れますが、素数ではありません。

$m$ が素数である $\Rightarrow$ $m$ は2で割り切れる。

これは偽です。例えば、$m=3$ は素数ですが、2で割り切れません。

よって、$m$ が2で割り切れることは、$m$ が素数であるための必要条件でも十分条件でもありません。

問題2

与えられた命題は「$a+b$ は無理数 $\Rightarrow a, b$ の少なくとも一方は無理数」です。

対偶は「$a, b$ がともに有理数 $\Rightarrow a+b$ は有理数」となります。

対偶の真偽を調べます。

$a$ と $b$ がともに有理数のとき、$a = p/q$, $b = r/s$ ($p, r$ は整数, $q, s$ は0でない整数)と表せます。

このとき、$a+b = p/q + r/s = (ps + qr)/(qs)$ となります。

$ps + qr$ は整数、$qs$ は0でない整数であるため、$a+b$ は有理数です。

したがって、対偶は真です。元の命題も真です。

3. 最終的な答え

問題1

(1) (c)

(2) (d)

問題2

対偶: $a, b$ がともに有理数 $\Rightarrow a+b$ は有理数

真偽: 真