7人を2つの部屋に分ける場合の数を求める問題です。 (1) 2つの部屋は区別でき、空室があっても良い。 (2) 2つの部屋は区別できず、それぞれの部屋に少なくとも1人が入る。

1. 問題の内容

7人を2つの部屋に分ける場合の数を求める問題です。

(1) 2つの部屋は区別でき、空室があっても良い。

(2) 2つの部屋は区別できず、それぞれの部屋に少なくとも1人が入る。

2. 解き方の手順

(1) 2つの部屋が区別でき、空室があっても良い場合

各人は2つの部屋のいずれかに入ることができるので、それぞれの人について2通りの選択肢があります。したがって、7人全員の部屋の分け方は $2^7$ 通りになります。

$2^7 = 128$

(2) 2つの部屋が区別できず、それぞれの部屋に少なくとも1人が入る場合

まず、部屋を区別できるとして考えます。

全体の分け方($2^7$通り)から、片方の部屋に全員が入る場合（2通り）を除きます。

$2^7 - 2 = 128 - 2 = 126$

この場合、2つの部屋を区別しているため、それぞれの部屋に人を入れた場合の分け方が重複して数えられています（例えば、Aの部屋に1人、Bの部屋に6人という分け方と、Aの部屋に6人、Bの部屋に1人という分け方は異なるものとして数えられています）。

したがって、上記の数を2で割る必要があります。

$126 / 2 = 63$

3. 最終的な答え

(1) 128通り

(2) 63通り