$$y' = (x)' \log x + x (\log x)' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$$

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1. 問題の内容

曲線 $y = x \log x$ について、次の2つの条件を満たす接線の方程式を求め、さらにその接点の座標を求める。ただし、$\log$ は自然対数とする。

(1) 傾きが1である。

(2) 点(0, -2)を通る。

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2. 解き方の手順

### (1) 傾きが1である場合

1. $y = x \log x$ を微分する。積の微分公式を使う。

$$y' = (x)' \log x + x (\log x)' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$$

2. 接点の$x$座標を $t$ とすると、接線の傾きは $y'(t) = \log t + 1$ となる。

3. 傾きが1であるという条件から、$\log t + 1 = 1$ を解く。

$$\log t + 1 = 1$$

$$\log t = 0$$

$$t = e^0 = 1$$

4. 接点の$y$座標を求める。$y(1) = 1 \cdot \log 1 = 1 \cdot 0 = 0$ 。よって接点の座標は $(1, 0)$。

5. 接線の方程式を求める。接点の座標$(1, 0)$を通り、傾きが1である直線の方程式は、

$$y - 0 = 1(x - 1)$$

$$y = x - 1$$

### (2) 点(0, -2)を通る場合

1. 接点の$x$座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, t \log t)$ である。接線の傾きは $y'(t) = \log t + 1$ である。

2. 接線の方程式を求める。接点の座標$(t, t \log t)$を通り、傾きが $\log t + 1$ である直線の方程式は、

$$y - t \log t = (\log t + 1)(x - t)$$

$$y = (\log t + 1)x - t \log t - t + t \log t$$

$$y = (\log t + 1)x - t$$

3. この接線が点(0, -2)を通るという条件から、接線の方程式に $x = 0$, $y = -2$ を代入する。

$$-2 = (\log t + 1) \cdot 0 - t$$

$$t = 2$$

4. 接点の$y$座標を求める。$y(2) = 2 \log 2$ 。よって接点の座標は $(2, 2 \log 2)$。

5. 接線の方程式を求める。傾きは $\log 2 + 1$ なので、

$$y = (\log 2 + 1)x - 2$$

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3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式： $y = x - 1$, 接点の座標： $(1, 0)$

(2) 接線の方程式： $y = (\log 2 + 1)x - 2$, 接点の座標： $(2, 2 \log 2)$