6人の生徒A, B, C, D, E, Fが丸いテーブルに着席する。 (1) AとBが隣り合う並び方の数 (2) AとBが隣り合わない並び方の数 (3) AとBが向かい合う並び方の数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

6人の生徒A, B, C, D, E, Fが丸いテーブルに着席する。

(1) AとBが隣り合う並び方の数

(2) AとBが隣り合わない並び方の数

(3) AとBが向かい合う並び方の数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) AとBが隣り合う場合：

まず、AとBをひとまとめにして1組と考えます。

すると、C, D, E, Fと合わせて5つのものを円形に並べることになります。

5つのものを円形に並べる方法は $(5-1)! = 4!$ 通りです。

次に、AとBの並び方はA, BとB, Aの2通りあります。

したがって、AとBが隣り合う並び方の数は $4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$ 通りです。

(2) AとBが隣り合わない場合：

まず、6人全員が円形に並ぶ並び方の総数を求めます。

これは $(6-1)! = 5! = 120$ 通りです。

次に、AとBが隣り合う並び方の数を(1)で求めた48通りです。

したがって、AとBが隣り合わない並び方の数は、全体の並び方の数から隣り合う並び方の数を引けば良いので、$120 - 48 = 72$ 通りです。

(3) AとBが向かい合う場合：

まずAの位置を固定します。次にBはAの向かい側に座るので、Bの位置も固定されます。

残りのC, D, E, Fの4人を残りの4つの席に並べる方法は、$4! = 24$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) AとBが隣り合う並び方：48通り

(2) AとBが隣り合わない並び方：72通り

(3) AとBが向かい合う並び方：24通り