異なる色の9個の玉を、以下の3つの場合に分けて、それぞれの分け方の総数を求める問題です。 (1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。 (2) A, B, C の3つの組に3個ずつ分ける。 (3) 3個ずつの3つの組に分ける。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、以下の3つの場合に分けて、それぞれの分け方の総数を求める問題です。

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。

(2) A, B, C の3つの組に3個ずつ分ける。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4個、3個、2個の組に分ける場合

まず、9個の玉から4個を選ぶ組み合わせは ${}_9C_4$ 通りです。

次に、残りの5個の玉から3個を選ぶ組み合わせは ${}_5C_3$ 通りです。

最後に、残りの2個の玉は自動的に2個の組になります。

したがって、分け方の総数は、

${}_9C_4 \times {}_5C_3 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} = \frac{9!}{4!3!2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = 126 \times 10 = 1260$ 通り

(2) A, B, C の3つの組に3個ずつ分ける場合

まず、9個の玉からAに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${}_9C_3$ 通りです。

次に、残りの6個の玉からBに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${}_6C_3$ 通りです。

最後に、残りの3個の玉は自動的にCに入ります。

したがって、分け方の総数は、

${}_9C_3 \times {}_6C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = 84 \times 20 = 1680$ 通り

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合

まず、9個の玉から3個を選ぶ組み合わせは ${}_9C_3$ 通りです。

次に、残りの6個の玉から3個を選ぶ組み合わせは ${}_6C_3$ 通りです。

最後に、残りの3個の玉は自動的に3個の組になります。

ただし、この場合、3つの組に区別がないため、3! で割る必要があります。

したがって、分け方の総数は、

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!}}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!3!3!}}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 1260 通り

(2) 1680 通り

(3) 280 通り