1000人の統計学の試験の得点を正規母集団とする。無作為抽出した大きさ10の標本の平均が86点、標本の標準偏差が9点であったとき、母平均の95%信頼区間を求める問題です。小数第一位まで答えます。

1. 問題の内容

1000人の統計学の試験の得点を正規母集団とする。無作為抽出した大きさ10の標本の平均が86点、標本の標準偏差が9点であったとき、母平均の95%信頼区間を求める問題です。小数第一位まで答えます。

2. 解き方の手順

母平均$\mu$ の95%信頼区間は、以下の式で表されます。

$$$$

\bar{x} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}

$$$$

ここで、

* $\bar{x}$ は標本平均で、$\bar{x} = 86$

* $s$ は標本標準偏差で、$s = 9$

* $n$ は標本の大きさで、$n = 10$

* $t_{\alpha/2, n-1}$ は自由度 $n-1$ のt分布における上側$\alpha/2$パーセント点です。今回は95%信頼区間なので、$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$、$\alpha/2 = 0.025$、自由度 $n-1 = 10 - 1 = 9$ となります。問題文中に$t_{0.025, 9} = 2.262$という値が与えられています。

したがって、95%信頼区間は以下のようになります。

$$$$

86 - 2.262 \times \frac{9}{\sqrt{10}} \le \mu \le 86 + 2.262 \times \frac{9}{\sqrt{10}}

$$$$

$$$$

86 - 2.262 \times \frac{9}{\sqrt{10}} \approx 86 - 2.262 \times 2.846 \approx 86 - 6.438 \approx 79.6

$$$$

$$$$

86 + 2.262 \times \frac{9}{\sqrt{10}} \approx 86 + 2.262 \times 2.846 \approx 86 + 6.438 \approx 92.4

$$$$

したがって、95%信頼区間は、$79.6 \le \mu \le 92.4$となります。

3. 最終的な答え

79.6 ≦ μ ≦ 92.4