1から8の数字が書かれた8個の玉があり、それらを箱A, B, Cに2個ずつ入れる。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りか。 (2) 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りか。また、箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数が入る入れ方は何通りか。 (3) 箱A, B, Cに入れた玉の数字の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cが全て偶数となるような入れ方は何通りか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りか。

1. 問題の内容

1から8の数字が書かれた8個の玉があり、それらを箱A, B, Cに2個ずつ入れる。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りか。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りか。また、箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数が入る入れ方は何通りか。

(3) 箱A, B, Cに入れた玉の数字の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cが全て偶数となるような入れ方は何通りか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1)

箱Aに入れる玉の選び方は、8個から2個を選ぶ組み合わせなので、

$_8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り

(2)

3つの箱への入れ方は、まず箱Aに入れる2個を選び($_8C_2$通り)、次に残りの6個から箱Bに入れる2個を選び($_6C_2$通り)、最後に残りの4個から箱Cに入れる2個を選ぶ($_4C_2$通り)ので、積の法則より

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 = 28 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$ 通り。

ただし、箱A, B, Cの区別はないので、並び替えの3! = 6で割る必要がある。したがって、

$\frac{2520}{3!} = \frac{2520}{6} = 420$ 通り。

箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数が入る場合、箱Aに入れる2個の選び方は、1, 2, 3, 4, 5の中から2個を選ぶので、$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。箱Bに入れる2個の選び方も同様に$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。箱Cに入れる2個の選び方は、6, 7, 8の中から2個を選ぶので、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。よって、積の法則より

$10 \times 3 \times 3 = 90$通り。

(3)

a, b, cが全て偶数となる場合、箱A, B, Cに入れる2個の数の組み合わせはどちらも「偶数+偶数」または「奇数+奇数」である必要がある。

1から8までの整数には、偶数が4つ（2, 4, 6, 8）、奇数が4つ（1, 3, 5, 7）ある。

箱A, B, Cに入れる玉の数字の和が全て偶数となるには、3つの箱全てで「偶数+偶数」か「奇数+奇数」のどちらかのパターンを選ぶ必要がある。

パターン1：すべての箱で「偶数+偶数」となる場合

$_4C_2 \times _2C_2 \times _0C_2$ = 6 * 1 * 0 =

0. 箱A, B, C に入れる偶数の組み合わせは、それぞれ $_4C_2 = 6$通り、$_2C_2 = 1$通り、$_0C_2 = 0$通り（ありえない）。この時点で 0 通り。

パターン2：すべての箱で「奇数+奇数」となる場合

箱Aに入れる奇数の組み合わせは$_4C_2 = 6$通り、箱Bに入れる奇数の組み合わせは$_2C_2 = 1$通り、箱Cに入れる奇数の組み合わせは$_0C_2 = 0$通り。この時点で0通り。

パターン3：箱AとBが「偶数+偶数」、箱Cが「奇数+奇数」

パターン4：箱AとCが「偶数+偶数」、箱Bが「奇数+奇数」

パターン5：箱BとCが「偶数+偶数」、箱Aが「奇数+奇数」

箱A, B, Cの区別を考慮して、組み合わせ数は$_4C_2 \times _2C_2 \times _4C_2= 6\times 1 \times 6= 36$。しかし、パターン3~5は、箱A、B、Cの並び替えを考慮して考えた場合と同じ組み合わせになるので、36通り。

したがって、全ての和が偶数になるのは36通り。

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるのは、全体からa, b, c全てが奇数となる場合を引けば良い。全ての和が奇数になるのは、それぞれの箱で「奇数+偶数」の組み合わせになる時のみ。しかし、各箱には2個の玉を入れなければならず、偶数と奇数の数が決まっているため、そのような組み合わせは作れない。

したがって、全ての組み合わせから、3つの数の和が全て奇数になる組み合わせを引けばよい。3つの数の和が全て奇数になるパターンは0通り。

全ての組み合わせは420通りなので、少なくとも1つが偶数となるのは420通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 420通り, 90通り

(3) 36通り, 420通り