与えられたデータ（X: 合格点, Y: 遅刻回数）から、相関係数を計算する問題です。データは10組あり、それぞれのXとYの値が与えられています。合計値、平均値、偏差、偏差の二乗、偏差積を計算し、最終的に相関係数 $r_{xy}$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられたデータ（X: 合格点, Y: 遅刻回数）から、相関係数を計算する問題です。データは10組あり、それぞれのXとYの値が与えられています。合計値、平均値、偏差、偏差の二乗、偏差積を計算し、最終的に相関係数 $r_{xy}$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

ステップ1: XとYの平均値を計算する。

Xの平均値 $\bar{X}$ は、Xの合計をデータ数で割ったものです。

$\bar{X} = \frac{1312}{10} = 131.2$

Yの平均値 $\bar{Y}$ は、Yの合計をデータ数で割ったものです。

$\bar{Y} = \frac{114}{10} = 11.4$

ステップ2: 各データ点について、$X_i - \bar{X}$ と $Y_i - \bar{Y}$ を計算する。

各データ点に対して、$X_i$ から $\bar{X}$ を引き、$Y_i$ から $\bar{Y}$ を引きます。

A: $104 - 131.2 = -27.2$, $27 - 11.4 = 15.6$

B: $159 - 131.2 = 27.8$, $2 - 11.4 = -9.4$

C: $118 - 131.2 = -13.2$, $14 - 11.4 = 2.6$

D: $134 - 131.2 = 2.8$, $5 - 11.4 = -6.4$

E: $60 - 131.2 = -71.2$, $32 - 11.4 = 20.6$

F: $151 - 131.2 = 19.8$, $8 - 11.4 = -3.4$

G: $180 - 131.2 = 48.8$, $1 - 11.4 = -10.4$

H: $91 - 131.2 = -40.2$, $25 - 11.4 = 13.6$

I: $168 - 131.2 = 36.8$, $0 - 11.4 = -11.4$

J: $147 - 131.2 = 15.8$, $0 - 11.4 = -11.4$

ステップ3: $(X_i - \bar{X})^2$ と $(Y_i - \bar{Y})^2$ を計算する。

各データ点について、偏差の二乗を計算します。

A: $(-27.2)^2 = 739.84$, $(15.6)^2 = 243.36$

B: $(27.8)^2 = 772.84$, $(-9.4)^2 = 88.36$

C: $(-13.2)^2 = 174.24$, $(2.6)^2 = 6.76$

D: $(2.8)^2 = 7.84$, $(-6.4)^2 = 40.96$

E: $(-71.2)^2 = 5069.44$, $(20.6)^2 = 424.36$

F: $(19.8)^2 = 392.04$, $(-3.4)^2 = 11.56$

G: $(48.8)^2 = 2381.44$, $(-10.4)^2 = 108.16$

H: $(-40.2)^2 = 1616.04$, $(13.6)^2 = 184.96$

I: $(36.8)^2 = 1354.24$, $(-11.4)^2 = 129.96$

J: $(15.8)^2 = 249.64$, $(-11.4)^2 = 129.96$

ステップ4: $(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$ を計算する。

各データ点について、偏差積を計算します。

A: $(-27.2)(15.6) = -424.32$

B: $(27.8)(-9.4) = -261.32$

C: $(-13.2)(2.6) = -34.32$

D: $(2.8)(-6.4) = -17.92$

E: $(-71.2)(20.6) = -1466.72$

F: $(19.8)(-3.4) = -67.32$

G: $(48.8)(-10.4) = -507.52$

H: $(-40.2)(13.6) = -546.72$

I: $(36.8)(-11.4) = -419.52$

J: $(15.8)(-11.4) = -180.12$

ステップ5: $S_{xx}$, $S_{yy}$, $S_{xy}$ を計算する。

$S_{xx}$ は $(X_i - \bar{X})^2$ の合計です。

$S_{xx} = 739.84 + 772.84 + 174.24 + 7.84 + 5069.44 + 392.04 + 2381.44 + 1616.04 + 1354.24 + 249.64 = 12757.6$

$S_{yy}$ は $(Y_i - \bar{Y})^2$ の合計です。

$S_{yy} = 243.36 + 88.36 + 6.76 + 40.96 + 424.36 + 11.56 + 108.16 + 184.96 + 129.96 + 129.96 = 1368.4$

$S_{xy}$ は $(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$ の合計です。

$S_{xy} = -424.32 -261.32 -34.32 -17.92 -1466.72 -67.32 -507.52 -546.72 -419.52 -180.12 = -3925.72$

ステップ6: 相関係数 $r_{xy}$ を計算する。

相関係数の公式は次の通りです。

$r_{xy} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

$r_{xy} = \frac{-3925.72}{\sqrt{12757.6 \times 1368.4}} = \frac{-3925.72}{\sqrt{17456194.24}} = \frac{-3925.72}{4178.06} \approx -0.9396$

3. 最終的な答え

$\bar{X} = 131.2$

$\bar{Y} = 11.4$

$S_{xx} = 12757.6$

$S_{yy} = 1368.4$

$S_{xy} = -3925.72$

$r_{xy} = -0.9396$