袋の中に1から8までの数字が書かれたカードが入っている。カードを1枚取り出し、元に戻すという操作を4回繰り返す。取り出されたカードに書かれた数をそれぞれ $a$, $b$, $c$, $d$ とする。 (1) $a+b+c+d=6$ となる確率を求めよ。 (2) 積 $abcd$ が奇数となる確率を求めよ。 (3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$ となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1から8までの数字が書かれたカードが入っている。カードを1枚取り出し、元に戻すという操作を4回繰り返す。取り出されたカードに書かれた数をそれぞれ $a$, $b$, $c$, $d$ とする。

(1) $a+b+c+d=6$ となる確率を求めよ。

(2) 積 $abcd$ が奇数となる確率を求めよ。

(3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$ となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a, b, c, d$ はそれぞれ1から8の整数であるから、$a+b+c+d=6$ を満たす組み合わせを考える。

$a, b, c, d$ は1以上の整数であるから、$a'=a-1, b'=b-1, c'=c-1, d'=d-1$ とおくと、$a', b', c', d'$ は0以上の整数で、

$(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=6$

$a'+b'+c'+d'=2$

この式を満たす0以上の整数の組 $(a', b', c', d')$ の数を求める。

これは、2個の区別できない玉を4個の区別できる箱に入れる方法の数に等しいから、重複組み合わせを用いて求められる。

求める場合の数は ${}_{4}H_{2} = {}_{4+2-1}C_{2} = {}_{5}C_{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ 通り。

$a, b, c, d$ の取り出し方はそれぞれ8通りずつあるので、全部で $8^4 = 4096$ 通り。

したがって、確率は $\frac{10}{4096} = \frac{5}{2048}$ となる。

(2) 積 $abcd$ が奇数となるのは、$a, b, c, d$ がすべて奇数であるときである。

1から8までの整数のうち、奇数は1, 3, 5, 7の4つ。

$a, b, c, d$ が奇数である確率はそれぞれ $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。

したがって、求める確率は $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ となる。

(3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$ となるのは、$a-1=0$ または $b-1=0$ または $c-1=0$ または $d-1=0$ のときである。

つまり、$a=1$ または $b=1$ または $c=1$ または $d=1$ のときである。

$a=1$ となる確率は $\frac{1}{8}$ である。

$a=1$ または $b=1$ または $c=1$ または $d=1$ となる確率を求める。

これは余事象を考えると、どの $a, b, c, d$ も 1 でない確率を1から引けばよい。

$a \neq 1$ となる確率は $\frac{7}{8}$ である。したがって、$a, b, c, d$ のいずれも 1 でない確率は $(\frac{7}{8})^4 = \frac{2401}{4096}$。

したがって、少なくとも1つが1となる確率は $1 - \frac{2401}{4096} = \frac{4096 - 2401}{4096} = \frac{1695}{4096}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2048}$

(2) $\frac{1}{16}$

(3) $\frac{1695}{4096}$