関数 $y = (x+1)^3$ を微分し、その結果を $y' = [1]x^2 + [2]x + [3]$ の形式で表す。[1]、[2]、[3]に当てはまる数字を答えよ。

解析学微分多項式展開

2025/6/30

1. 問題の内容

関数

y = (x+1)^3

を微分し、その結果を

y' = [1]x^2 + [2]x + [3]

の形式で表す。[1]、[2]、[3]に当てはまる数字を答えよ。

2. 解き方の手順

まず、

y = (x+1)^3

を展開します。

y = (x+1)(x+1)(x+1) = (x^2 + 2x + 1)(x+1) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

次に、この式を微分します。

y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 3x^2 + 6x + 3

したがって、

y' = 3x^2 + 6x + 3

となります。

よって、[1] = 3, [2] = 6, [3] = 3

3. 最終的な答え

[1] = 3

[2] = 6

[3] = 3

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