白玉1個、赤玉4個、青玉6個を使って環状の首飾りを作る問題。 (1) 作り方の総数を求める。 (2) 赤玉同士が隣り合わない場合の作り方の数を求める。

離散数学組み合わせ円順列重複順列場合の数数え上げ
2025/6/30

1. 問題の内容

白玉1個、赤玉4個、青玉6個を使って環状の首飾りを作る問題。
(1) 作り方の総数を求める。
(2) 赤玉同士が隣り合わない場合の作り方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 作り方の総数
まず、11個の玉を円形に並べる総数を考える。
11個の玉を直線に並べる方法は 11!11! 通りである。
しかし、円順列では回転して一致するものは同じとみなすので、1111 で割る必要がある。
さらに、裏返す操作をすると一致するものは同じとみなすので、22 で割る必要がある。
したがって、円順列の基本は (n1)!2\frac{(n-1)!}{2} である。
しかし、今回は同じ色の玉があるので、重複を考慮する必要がある。
まず、11個の玉を直線に並べる場合の数を考える。これは多項定理で計算できる。
11!1!4!6!=11109874321=111037=2310\frac{11!}{1!4!6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 7 = 2310 通り
しかし、円順列なので、回転して一致するものを同一とみなす必要がある。
また、裏返すことを考慮する必要もある。
円順列の総数を計算する。すべての並び方が回転対称性を持つわけではないため、Burnsideの補題を使うことは難しい。
ここでは、基準となる玉を固定して考えます。白玉を固定した場合、残りの10個の玉の並び方を考えます。残りの10個の玉の並び方は、赤玉4個と青玉6個の順列なので、
10!4!6!=109874321=1037=210\frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210 通り。
しかし、環状なので、裏返しにした時に同じになる場合がある。
正確には、この210通りを2で割ることはできない。
円順列の問題は、一般に、回転対称性を持つ場合があるので、単純に nn で割ったり、22 で割ったりすることができない。
ここでは、白玉を固定して、残りの赤玉4個、青玉6個の順列を考えることにする。
計算の結果210通り。
(2) 赤玉が隣り合わない場合
まず、青玉6個を円形に並べる。この並び方は1通りと考えられる。(円順列だが、すべて同じものなので)
次に、青玉と青玉の間にできる6つの隙間に、赤玉4個を配置する。ただし、各隙間には1個以下の赤玉しか入れられない。
6個の隙間から4個の隙間を選ぶ方法は (64)=6!4!2!=652=15\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 通り
これらの並び方は、裏返して同じになる場合があるので、単純に2で割ることはできない。
しかし、ここでは固定した青玉の配置に対して、赤玉の配置が異なる場合を数えているので、裏返しを考慮する必要はない。

3. 最終的な答え

(1) 作り方は210通り
(2) 赤玉が隣り合わない作り方は15通り

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