白玉1個、赤玉4個、青玉6個を使って環状の首飾りを作る問題。 (1) 作り方の総数を求める。 (2) 赤玉同士が隣り合わない場合の作り方の数を求める。

離散数学組み合わせ円順列重複順列場合の数数え上げ
2025/6/30

1. 問題の内容

白玉1個、赤玉4個、青玉6個を使って環状の首飾りを作る問題。
(1) 作り方の総数を求める。
(2) 赤玉同士が隣り合わない場合の作り方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 作り方の総数
まず、11個の玉を円形に並べる総数を考える。
11個の玉を直線に並べる方法は 11!11! 通りである。
しかし、円順列では回転して一致するものは同じとみなすので、1111 で割る必要がある。
さらに、裏返す操作をすると一致するものは同じとみなすので、22 で割る必要がある。
したがって、円順列の基本は (n1)!2\frac{(n-1)!}{2} である。
しかし、今回は同じ色の玉があるので、重複を考慮する必要がある。
まず、11個の玉を直線に並べる場合の数を考える。これは多項定理で計算できる。
11!1!4!6!=11109874321=111037=2310\frac{11!}{1!4!6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 7 = 2310 通り
しかし、円順列なので、回転して一致するものを同一とみなす必要がある。
また、裏返すことを考慮する必要もある。
円順列の総数を計算する。すべての並び方が回転対称性を持つわけではないため、Burnsideの補題を使うことは難しい。
ここでは、基準となる玉を固定して考えます。白玉を固定した場合、残りの10個の玉の並び方を考えます。残りの10個の玉の並び方は、赤玉4個と青玉6個の順列なので、
10!4!6!=109874321=1037=210\frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210 通り。
しかし、環状なので、裏返しにした時に同じになる場合がある。
正確には、この210通りを2で割ることはできない。
円順列の問題は、一般に、回転対称性を持つ場合があるので、単純に nn で割ったり、22 で割ったりすることができない。
ここでは、白玉を固定して、残りの赤玉4個、青玉6個の順列を考えることにする。
計算の結果210通り。
(2) 赤玉が隣り合わない場合
まず、青玉6個を円形に並べる。この並び方は1通りと考えられる。(円順列だが、すべて同じものなので)
次に、青玉と青玉の間にできる6つの隙間に、赤玉4個を配置する。ただし、各隙間には1個以下の赤玉しか入れられない。
6個の隙間から4個の隙間を選ぶ方法は (64)=6!4!2!=652=15\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 通り
これらの並び方は、裏返して同じになる場合があるので、単純に2で割ることはできない。
しかし、ここでは固定した青玉の配置に対して、赤玉の配置が異なる場合を数えているので、裏返しを考慮する必要はない。

3. 最終的な答え

(1) 作り方は210通り
(2) 赤玉が隣り合わない作り方は15通り

「離散数学」の関連問題

順列 ${}_8P_4$ から組合せ ${}_8C_4$ を引いた値を計算する問題です。つまり、${}_8P_4 - {}_8C_4$ を求めることになります。

順列組合せ組み合わせ
2025/7/10

先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方 (2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方 (3) 両端が生徒である並び方 (4...

順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/10

大人3人と子供3人が輪になって並ぶ場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方を求めます。 (2) 大人と子供が交互に並ぶ並び方を求めます。

順列組み合わせ円順列
2025/7/9

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等...

集合論無限集合対等全単射証明反例
2025/7/9

男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 円の作り方は全部で何通りあるか。 (2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。 (3) 男子の太郎君と次郎君が向...

円順列順列組み合わせ場合の数
2025/7/9

図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

組み合わせ最短経路順列
2025/7/9

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。ただし、Aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使います。

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/9

正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。 (1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。 (2) 6色...

組み合わせ場合の数順列円順列正多角形
2025/7/9

(1) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ の部分集合を、与えられた集合 $P = \{1, 2, 3, 5\}$, $Q = \{1, 2, 4, 6\}$, $R = \...

集合部分集合補集合共通部分和集合
2025/7/9

与えられた問題は、組み合わせ (combination) に関する計算問題と、正六角形に関する問題です。具体的には、以下の問題があります。 - 問題54: 組み合わせの計算 (6問) - 問題55: ...

組み合わせnCr正六角形組み合わせの計算
2025/7/9