白玉1個、赤玉4個、青玉6個を使って環状の首飾りを作る問題。 (1) 作り方の総数を求める。 (2) 赤玉同士が隣り合わない場合の作り方の数を求める。
2025/6/30
1. 問題の内容
白玉1個、赤玉4個、青玉6個を使って環状の首飾りを作る問題。
(1) 作り方の総数を求める。
(2) 赤玉同士が隣り合わない場合の作り方の数を求める。
2. 解き方の手順
(1) 作り方の総数
まず、11個の玉を円形に並べる総数を考える。
11個の玉を直線に並べる方法は 通りである。
しかし、円順列では回転して一致するものは同じとみなすので、 で割る必要がある。
さらに、裏返す操作をすると一致するものは同じとみなすので、 で割る必要がある。
したがって、円順列の基本は である。
しかし、今回は同じ色の玉があるので、重複を考慮する必要がある。
まず、11個の玉を直線に並べる場合の数を考える。これは多項定理で計算できる。
通り
しかし、円順列なので、回転して一致するものを同一とみなす必要がある。
また、裏返すことを考慮する必要もある。
円順列の総数を計算する。すべての並び方が回転対称性を持つわけではないため、Burnsideの補題を使うことは難しい。
ここでは、基準となる玉を固定して考えます。白玉を固定した場合、残りの10個の玉の並び方を考えます。残りの10個の玉の並び方は、赤玉4個と青玉6個の順列なので、
通り。
しかし、環状なので、裏返しにした時に同じになる場合がある。
正確には、この210通りを2で割ることはできない。
円順列の問題は、一般に、回転対称性を持つ場合があるので、単純に で割ったり、 で割ったりすることができない。
ここでは、白玉を固定して、残りの赤玉4個、青玉6個の順列を考えることにする。
計算の結果210通り。
(2) 赤玉が隣り合わない場合
まず、青玉6個を円形に並べる。この並び方は1通りと考えられる。(円順列だが、すべて同じものなので)
次に、青玉と青玉の間にできる6つの隙間に、赤玉4個を配置する。ただし、各隙間には1個以下の赤玉しか入れられない。
6個の隙間から4個の隙間を選ぶ方法は 通り
これらの並び方は、裏返して同じになる場合があるので、単純に2で割ることはできない。
しかし、ここでは固定した青玉の配置に対して、赤玉の配置が異なる場合を数えているので、裏返しを考慮する必要はない。
3. 最終的な答え
(1) 作り方は210通り
(2) 赤玉が隣り合わない作り方は15通り