白玉1個、赤玉4個、青玉6個を使って環状の首飾りを作る問題。 (1) 作り方の総数を求める。 (2) 赤玉同士が隣り合わない場合の作り方の数を求める。

1. 問題の内容

白玉1個、赤玉4個、青玉6個を使って環状の首飾りを作る問題。

(1) 作り方の総数を求める。

(2) 赤玉同士が隣り合わない場合の作り方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 作り方の総数

まず、11個の玉を円形に並べる総数を考える。

11個の玉を直線に並べる方法は $11!$ 通りである。

しかし、円順列では回転して一致するものは同じとみなすので、$11$ で割る必要がある。

さらに、裏返す操作をすると一致するものは同じとみなすので、$2$ で割る必要がある。

したがって、円順列の基本は $\frac{(n-1)!}{2}$ である。

しかし、今回は同じ色の玉があるので、重複を考慮する必要がある。

まず、11個の玉を直線に並べる場合の数を考える。これは多項定理で計算できる。

$\frac{11!}{1!4!6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 7 = 2310$ 通り

しかし、円順列なので、回転して一致するものを同一とみなす必要がある。

また、裏返すことを考慮する必要もある。

円順列の総数を計算する。すべての並び方が回転対称性を持つわけではないため、Burnsideの補題を使うことは難しい。

ここでは、基準となる玉を固定して考えます。白玉を固定した場合、残りの10個の玉の並び方を考えます。残りの10個の玉の並び方は、赤玉4個と青玉6個の順列なので、

$\frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$ 通り。

しかし、環状なので、裏返しにした時に同じになる場合がある。

正確には、この210通りを2で割ることはできない。

円順列の問題は、一般に、回転対称性を持つ場合があるので、単純に $n$ で割ったり、$2$ で割ったりすることができない。

ここでは、白玉を固定して、残りの赤玉4個、青玉6個の順列を考えることにする。

計算の結果210通り。

(2) 赤玉が隣り合わない場合

まず、青玉6個を円形に並べる。この並び方は1通りと考えられる。(円順列だが、すべて同じものなので)

次に、青玉と青玉の間にできる6つの隙間に、赤玉4個を配置する。ただし、各隙間には1個以下の赤玉しか入れられない。

6個の隙間から4個の隙間を選ぶ方法は $\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ 通り

これらの並び方は、裏返して同じになる場合があるので、単純に2で割ることはできない。

しかし、ここでは固定した青玉の配置に対して、赤玉の配置が異なる場合を数えているので、裏返しを考慮する必要はない。

3. 最終的な答え

(1) 作り方は210通り

(2) 赤玉が隣り合わない作り方は15通り