$\sin x = \frac{4}{5}$ かつ $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$\sin \frac{x}{2}$, $\cos \frac{x}{2}$, $\tan \frac{x}{2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sin x = \frac{4}{5}$ かつ $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$\sin \frac{x}{2}$, $\cos \frac{x}{2}$, $\tan \frac{x}{2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x$ の値を求める。$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ より、$\cos x < 0$ なので、$\cos x = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$。

次に、半角の公式を用いる。

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin \frac{x}{2} > 0$, $\cos \frac{x}{2} > 0$ である。

(1) $\sin \frac{x}{2}$ の値を求める。

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5}$

$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos \frac{x}{2}$ の値を求める。

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5}$

$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) $\tan \frac{x}{2}$ の値を求める。

$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{1 + (-\frac{3}{5})} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{x}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) $\tan \frac{x}{2} = 2$