問題は次の和を求めることです。 $3\cdot2 + 6\cdot3 + 9\cdot4 + \dots + 3n(n+1)$

1. 問題の内容

問題は次の和を求めることです。

$3\cdot2 + 6\cdot3 + 9\cdot4 + \dots + 3n(n+1)$

2. 解き方の手順

まず、一般項を求めます。第k項は$3k(k+1)$で表されます。したがって、和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} 3k(k+1)$

次に、$\sum$の中を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} 3k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k)$

$\sum$を分配します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$と$\sum_{k=1}^{n} k$の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

上記の公式を代入すると、次のようになります。

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k = 3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\cdot\frac{n(n+1)}{2}$

式を簡略化します。

$3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2}$

共通因子$\frac{n(n+1)}{2}$をくくりだします。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} (2n+1+3)$

さらに簡略化します。

$\frac{n(n+1)}{2} (2n+1+3) = \frac{n(n+1)}{2} (2n+4) = n(n+1)(n+2)$

3. 最終的な答え

$n(n+1)(n+2)$