10進法で表された数 $12^{100}$ を2進法で表したときの桁数を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

10進法で表された数 $12^{100}$ を2進法で表したときの桁数を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$12^{100}$ の常用対数を計算します。

$log_{10}(12^{100}) = 100 \times log_{10}12$

$log_{10}12 = log_{10}(2^2 \times 3) = log_{10}2^2 + log_{10}3 = 2 \times log_{10}2 + log_{10}3$

与えられた値を使うと、

$log_{10}12 = 2 \times 0.3010 + 0.4771 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791$

したがって、

$log_{10}(12^{100}) = 100 \times 1.0791 = 107.91$

$12^{100}$を2進法で表したときの桁数を$n$とすると、

$2^{n-1} \le 12^{100} < 2^n$

両辺の常用対数をとると、

$log_{10}2^{n-1} \le log_{10}12^{100} < log_{10}2^n$

$(n-1)log_{10}2 \le 107.91 < nlog_{10}2$

$(n-1) \times 0.3010 \le 107.91 < n \times 0.3010$

$n-1 \le \frac{107.91}{0.3010} < n$

$\frac{107.91}{0.3010} \approx 358.505$

$n-1 \le 358.505 < n$

したがって、$n = 359$

3. 最終的な答え

359