$7^{2^i}$ を $i = 1, 2, 3, 4$ に対して、mod 43 で求めよ。

1. 問題の内容

$7^{2^i}$ を $i = 1, 2, 3, 4$ に対して、mod 43 で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$i = 1, 2, 3, 4$ に対して $7^{2^i} \pmod{43}$ を計算します。

* $i = 1$ のとき: $7^{2^1} = 7^2 = 49 \equiv 6 \pmod{43}$

* $i = 2$ のとき: $7^{2^2} = 7^4 = (7^2)^2 = 49^2 \equiv 6^2 = 36 \pmod{43}$

* $i = 3$ のとき: $7^{2^3} = 7^8 = (7^4)^2 = 49^4 \equiv 6^4 = 36^2 = 1296 \pmod{43}$

$1296 = 43 \times 30 + 6$ より、$1296 \equiv 6 \pmod{43}$

* $i = 4$ のとき: $7^{2^4} = 7^{16} = (7^8)^2 = 49^8 \equiv 6^8 = (6^4)^2 \equiv 6^2 = 36 \pmod{43}$

3. 最終的な答え

$i = 1$ のとき、$7^{2^1} \equiv 6 \pmod{43}$

$i = 2$ のとき、$7^{2^2} \equiv 36 \pmod{43}$

$i = 3$ のとき、$7^{2^3} \equiv 6 \pmod{43}$

$i = 4$ のとき、$7^{2^4} \equiv 36 \pmod{43}$