三角形の3辺の長さが $a = \sqrt{7}$, $b = 3$, $c = 4$ であるとき、その三角形の面積 $S$ を求めなさい。

1. 問題の内容

三角形の3辺の長さが $a = \sqrt{7}$, $b = 3$, $c = 4$ であるとき、その三角形の面積 $S$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

ヘロンの公式を使って三角形の面積を計算します。

まず、$s = \frac{a+b+c}{2}$ を計算します。

次に、面積 $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ を計算します。

$s = \frac{\sqrt{7} + 3 + 4}{2} = \frac{\sqrt{7} + 7}{2}$

$s - a = \frac{\sqrt{7} + 7}{2} - \sqrt{7} = \frac{\sqrt{7} + 7 - 2\sqrt{7}}{2} = \frac{7 - \sqrt{7}}{2}$

$s - b = \frac{\sqrt{7} + 7}{2} - 3 = \frac{\sqrt{7} + 7 - 6}{2} = \frac{\sqrt{7} + 1}{2}$

$s - c = \frac{\sqrt{7} + 7}{2} - 4 = \frac{\sqrt{7} + 7 - 8}{2} = \frac{\sqrt{7} - 1}{2}$

$S = \sqrt{\frac{\sqrt{7} + 7}{2} \cdot \frac{7 - \sqrt{7}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} - 1}{2}}$

$S = \sqrt{\frac{(7+\sqrt{7})(7-\sqrt{7})}{4} \cdot \frac{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)}{4}}$

$S = \sqrt{\frac{(49-7)}{4} \cdot \frac{(7-1)}{4}} = \sqrt{\frac{42}{4} \cdot \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{252}{16}} = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{\sqrt{63}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3\sqrt{7}}{2}$