2点 A(-3, 2) と B(4, 5) を結ぶ線分 AB について、以下の点の座標を求める問題です。 (1) 線分 AB を 2:1 に内分する点 (2) 線分 AB を 2:3 に外分する点 (3) 線分 AB の中点

1. 問題の内容

2点 A(-3, 2) と B(4, 5) を結ぶ線分 AB について、以下の点の座標を求める問題です。

(1) 線分 AB を 2:1 に内分する点

(2) 線分 AB を 2:3 に外分する点

(3) 線分 AB の中点

2. 解き方の手順

(1) 2:1 に内分する点

内分点の公式は、線分 AB を m:n に内分する点の座標を (x, y) とすると、

$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

$y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$

ここで、A の座標を $(x_1, y_1) = (-3, 2)$, B の座標を $(x_2, y_2) = (4, 5)$, m = 2, n = 1 とすると、

$x = \frac{1 \cdot (-3) + 2 \cdot 4}{2+1} = \frac{-3 + 8}{3} = \frac{5}{3}$

$y = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 5}{2+1} = \frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4$

(2) 2:3 に外分する点

外分点の公式は、線分 AB を m:n に外分する点の座標を (x, y) とすると、

$x = \frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

$y = \frac{-ny_1 + my_2}{m-n}$

ここで、A の座標を $(x_1, y_1) = (-3, 2)$, B の座標を $(x_2, y_2) = (4, 5)$, m = 2, n = 3 とすると、

$x = \frac{-3 \cdot (-3) + 2 \cdot 4}{2-3} = \frac{9 + 8}{-1} = \frac{17}{-1} = -17$

$y = \frac{-3 \cdot 2 + 2 \cdot 5}{2-3} = \frac{-6 + 10}{-1} = \frac{4}{-1} = -4$

(3) 中点

中点の公式は、線分 AB の中点の座標を (x, y) とすると、

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

ここで、A の座標を $(x_1, y_1) = (-3, 2)$, B の座標を $(x_2, y_2) = (4, 5)$ とすると、

$x = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2}$

$y = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2:1 に内分する点: $(\frac{5}{3}, 4)$

(2) 2:3 に外分する点: $(-17, -4)$

(3) 中点: $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$