三角形ABCが与えられており、角Aは45度、辺ACの長さは2です。このとき、ベクトルABとベクトルACの内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ を計算する必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCが与えられており、角Aは45度、辺ACの長さは2です。このとき、ベクトルABとベクトルACの内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積は、以下のように定義されます。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}$

ここで、$\theta$はベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$のなす角です。

問題の図から、$\angle BAC = 45^{\circ}$ であり、$|\overrightarrow{AC}| = 2$です。

また、三角形ABCは直角三角形なので、

$\cos{45^{\circ}} = \frac{AB}{AC}$

したがって、$AB = AC \cos{45^{\circ}}$

$AB = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2}$

よって、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{45^{\circ}}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \sqrt{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2$

3. 最終的な答え

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