三角形OABがあり、OA=1, OB=$\sqrt{3}$, AB=2である。自然数nに対し、$AP_k = \frac{k}{n}AB$ (k=1, 2, ..., n) となるような点$P_1, P_2, ..., P_n$を辺AB上にとる。 (1) 線分$OP_k$の長さを求めよ。 (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(OP_k)^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABがあり、OA=1, OB=$\sqrt{3}$, AB=2である。自然数nに対し、$AP_k = \frac{k}{n}AB$ (k=1, 2, ..., n) となるような点$P_1, P_2, ..., P_n$を辺AB上にとる。

(1) 線分$OP_k$の長さを求めよ。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(OP_k)^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$OA = 1$, $OB = \sqrt{3}$, $AB = 2$なので、$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$である。

$OP_k^2 = OA^2 + AP_k^2 - 2 \cdot OA \cdot AP_k \cos A$

$AP_k = \frac{k}{n} AB = \frac{2k}{n}$なので

$OP_k^2 = 1^2 + (\frac{2k}{n})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{2k}{n} \cos (\frac{\pi}{3})$

$= 1 + \frac{4k^2}{n^2} - 2 \cdot \frac{2k}{n} \cdot \frac{1}{2}$

$= 1 + \frac{4k^2}{n^2} - \frac{2k}{n}$

したがって、

$OP_k = \sqrt{1 + \frac{4k^2}{n^2} - \frac{2k}{n}}$

(2)

$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(OP_k)^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{4k^2}{n^2} - \frac{2k}{n}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{4k^2}{n^2} - \frac{2k}{n}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + 4(\frac{k}{n})^2 - 2(\frac{k}{n})}$

これは積分で表すことができる。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + 4x^2 - 2x} dx$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{4x^2 - 2x + 1} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{4(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) - \frac{1}{4} + 1} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{4(x-\frac{1}{4})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{3}{4} ( \frac{4}{3} \cdot 4(x-\frac{1}{4})^2 + 1)} dx = \frac{4}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{16}{3} (x-\frac{1}{4})^2 + 1} dx$

$t = \frac{4}{\sqrt{3}}(x - \frac{1}{4})$ とおくと $dt = \frac{4}{\sqrt{3}} dx$

$dx = \frac{\sqrt{3}}{4} dt$

$x = 0$ のとき $t = \frac{4}{\sqrt{3}} (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = 1$ のとき $t = \frac{4}{\sqrt{3}} (\frac{3}{4}) = \sqrt{3}$

$\frac{4}{3} \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t^2+1} \frac{\sqrt{3}}{4} dt = \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t^2+1} dt = \frac{\sqrt{3}}{3} [\arctan(t)]_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}$

$=\frac{\sqrt{3}}{3} [\arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})] = \frac{\sqrt{3}}{3} [\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})] = \frac{\sqrt{3}}{3} [\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}] = \frac{\sqrt{3}}{3} [\frac{\pi}{2}] = \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $OP_k = \sqrt{1 + \frac{4k^2}{n^2} - \frac{2k}{n}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}\pi}{6}$