問題15は、点(2, 4)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線に関する問題です。 (1) では、接線の方程式を求めます。 (2) では、(1)で求めた2つの接線の接点をP, Qとしたとき、直線PQの方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題15は、点(2, 4)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線に関する問題です。

(1) では、接線の方程式を求めます。

(2) では、(1)で求めた2つの接線の接点をP, Qとしたとき、直線PQの方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点(2, 4)を通る直線の式を $y = m(x - 2) + 4$ とおきます。これは、$mx - y - 2m + 4 = 0$と変形できます。

この直線が円 $x^2 + y^2 = 10$ と接する条件は、円の中心(0, 0)と直線との距離が円の半径 $\sqrt{10}$ に等しいことです。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - (0) - 2m + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{10}$

$\frac{|-2m + 4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10}$

両辺を2乗して、

$(-2m + 4)^2 = 10(m^2 + 1)$

$4m^2 - 16m + 16 = 10m^2 + 10$

$6m^2 + 16m - 6 = 0$

$3m^2 + 8m - 3 = 0$

$(3m - 1)(m + 3) = 0$

よって、$m = \frac{1}{3}, -3$

$m = \frac{1}{3}$ のとき、接線の方程式は $y = \frac{1}{3}(x - 2) + 4$ より $y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$ すなわち $x - 3y + 10 = 0$

$m = -3$ のとき、接線の方程式は $y = -3(x - 2) + 4$ より $y = -3x + 10$ すなわち $3x + y - 10 = 0$

(2) 接点P, Qを通る円の方程式は $x^2 + y^2 - 10 + k(x - 3y + 10)(3x + y - 10) = 0$ と表せる。ここでkは任意定数。

直線PQの方程式は、P, Qが直線 $ax + by + c = 0$ 上にあるとすると、この直線と円との交点を通る円の方程式は $x^2 + y^2 - 10 + k(ax + by + c) = 0$ と表せる。ただし、この円と直線が表す図形が一致する場合を除く。

直線PQは、円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点(2, 4)における接線の方程式になっている。

$2x + 4y = 10$

$x + 2y = 5$

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式は $x - 3y + 10 = 0$ と $3x + y - 10 = 0$

(2) 直線PQの方程式は $x + 2y = 5$