点Pは円 $x^2 + (y-1)^2 = 9$ の周上を動きます。点A(6, 0)と点Pを結ぶ線分APを2:1に外分する点をQとします。 (1) 点Qの軌跡を求めてください。 (2) 線分AQの長さの最大値を求めてください。

1. 問題の内容

点Pは円 $x^2 + (y-1)^2 = 9$ の周上を動きます。点A(6, 0)と点Pを結ぶ線分APを2:1に外分する点をQとします。

(1) 点Qの軌跡を求めてください。

(2) 線分AQの長さの最大値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を$(s, t)$、点Qの座標を$(x, y)$とします。

点Pは円 $x^2 + (y-1)^2 = 9$ 上にあるので、

$s^2 + (t-1)^2 = 9$ が成り立ちます。

点Qは線分APを2:1に外分するので、

$x = \frac{2s - 1 \cdot 6}{2 - 1} = 2s - 6$

$y = \frac{2t - 1 \cdot 0}{2 - 1} = 2t$

となります。

これらの式から $s$ と $t$ を $x$ と $y$ で表すと、

$s = \frac{x+6}{2}$

$t = \frac{y}{2}$

となります。

これを $s^2 + (t-1)^2 = 9$ に代入すると、

$(\frac{x+6}{2})^2 + (\frac{y}{2} - 1)^2 = 9$

$\frac{(x+6)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{4} = 9$

$(x+6)^2 + (y-2)^2 = 36$

したがって、点Qの軌跡は、中心が(-6, 2), 半径が6の円です。

(2) 点A(6, 0)と点Qの軌跡である円 $(x+6)^2 + (y-2)^2 = 36$ の中心 $(-6, 2)$ 間の距離をdとすると、

$d = \sqrt{(6 - (-6))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{12^2 + (-2)^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$

線分AQの長さの最大値は、円の中心から点Aまでの距離に半径を加えたものなので、

$2\sqrt{37} + 6$

3. 最終的な答え

(1) 点Qの軌跡: $(x+6)^2 + (y-2)^2 = 36$

(2) 線分AQの長さの最大値: $2\sqrt{37} + 6$