3点 A(0, 6), B(3, 0), C(4, 5) を頂点とする三角形 ABC があります。辺 AB 上に点 D を $\triangle ADC : \triangle BDC = 1 : 2$ となるようにとるとき、直線 CD の式を求めなさい。

1. 問題の内容

3点 A(0, 6), B(3, 0), C(4, 5) を頂点とする三角形 ABC があります。辺 AB 上に点 D を $\triangle ADC : \triangle BDC = 1 : 2$ となるようにとるとき、直線 CD の式を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、点 D が線分 AB をどのような比に内分するかを考えます。$\triangle ADC$ と $\triangle BDC$ の面積比が 1 : 2 であることから、線分 AD と線分 BD の長さの比も 1 : 2 であることがわかります。したがって、点 D は線分 AB を 1 : 2 に内分する点です。

次に、点 D の座標を求めます。点 D は線分 AB を 1 : 2 に内分する点なので、内分点の公式を用いて点 D の座標を計算します。

点 D の座標を $(x_D, y_D)$ とすると、

$$x_D = \frac{2x_A + 1x_B}{1 + 2} = \frac{2(0) + 1(3)}{3} = \frac{3}{3} = 1$$

$$y_D = \frac{2y_A + 1y_B}{1 + 2} = \frac{2(6) + 1(0)}{3} = \frac{12}{3} = 4$$

したがって、点 D の座標は (1, 4) です。

最後に、直線 CD の式を求めます。直線 CD は点 C(4, 5) と点 D(1, 4) を通るので、傾き $m$ は

$$m = \frac{y_C - y_D}{x_C - x_D} = \frac{5 - 4}{4 - 1} = \frac{1}{3}$$

直線 CD の式を $y = mx + b$ とおくと、

$y = \frac{1}{3}x + b$ となります。この直線が点 D(1, 4) を通るので、

$$4 = \frac{1}{3}(1) + b$$

$$b = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12 - 1}{3} = \frac{11}{3}$$

したがって、直線 CD の式は $y = \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$ となります。両辺を 3 倍して整理すると、$x - 3y + 11 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$

または

$x - 3y + 11 = 0$