座標平面上に2点 A(1, 1), B(3, -3) を直径の両端とする円 C がある。 (1) 円 C の中心の座標と半径をそれぞれ求めよ。 (2) 円 C の接線で直線 AB に平行であるもののうち、y 切片が正であるものの方程式を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 A(1, 1), B(3, -3) を直径の両端とする円 C がある。

(1) 円 C の中心の座標と半径をそれぞれ求めよ。

(2) 円 C の接線で直線 AB に平行であるもののうち、y 切片が正であるものの方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心は、直径の両端の中点である。よって、中心の座標は

$(\frac{1+3}{2}, \frac{1+(-3)}{2}) = (2, -1)$

円の半径は、中心と A または B の距離である。中心を O とすると、

$OA = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

よって、半径は $\sqrt{5}$ である。

(2)

直線 AB の傾きは $\frac{-3-1}{3-1} = \frac{-4}{2} = -2$

よって、求める接線は傾きが -2 である。求める接線の式を $y = -2x + b$ とする。

円の中心 (2, -1) と接線 $2x + y - b = 0$ の距離が半径 $\sqrt{5}$ に等しいから、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|2(2) + (-1) - b|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|4 - 1 - b|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$|3 - b| = 5$

$3 - b = 5$ または $3 - b = -5$

$b = -2$ または $b = 8$

y 切片が正である接線を求めるので、$b > 0$ より、$b = 8$

よって、求める接線の方程式は $y = -2x + 8$

3. 最終的な答え

(1) 中心の座標: (2, -1), 半径: $\sqrt{5}$

(2) $y = -2x + 8$