$(\frac{1}{7})^{81}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか求めよ。ただし、$\log_{10}7 = 0.8451$ とする。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{7})^{81}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか求めよ。ただし、$\log_{10}7 = 0.8451$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$x = (\frac{1}{7})^{81}$ とおく。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}x = \log_{10}(\frac{1}{7})^{81} = 81 \log_{10}(\frac{1}{7})$

$\log_{10}x = 81 \log_{10}(7^{-1}) = -81 \log_{10}7$

$\log_{10}7 = 0.8451$ を代入すると、

$\log_{10}x = -81 \times 0.8451 = -68.4531$

$\log_{10}x = -68.4531$ より、$x = 10^{-68.4531}$

$x = 10^{-69 + 0.5469}$

$x = 10^{0.5469} \times 10^{-69}$

$10^{0.5469}$ は $1$ と $10$ の間の数なので、$1 < 10^{0.5469} < 10$

したがって、$(\frac{1}{7})^{81}$ は小数第 $69$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

小数第69位