$(\frac{1}{5})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{5})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$x = (\frac{1}{5})^{10}$ とおきます。両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} x = \log_{10} (\frac{1}{5})^{10}$

$\log_{10} x = 10 \log_{10} (\frac{1}{5})$

$\log_{10} x = 10 \log_{10} 5^{-1}$

$\log_{10} x = -10 \log_{10} 5$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} (\frac{10}{2}) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ であることを利用します。

$\log_{10} x = -10 (1 - \log_{10} 2)$

$\log_{10} x = -10 (1 - 0.3010)$

$\log_{10} x = -10 (0.6990)$

$\log_{10} x = -6.99$

$\log_{10} x = -7 + 0.01$

$x = 10^{-7 + 0.01} = 10^{-7} \times 10^{0.01}$

$10^{0.01} > 1$ なので、$x$ は小数第7位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

小数第7位