$30^{30}$ は何桁の数か求めよ。ただし、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$30^{30}$ は何桁の数か求めよ。ただし、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

$30^{30}$ の桁数を求めるには、常用対数 $\log_{10} (30^{30})$ を計算し、その値の整数部分に 1 を足せば良い。

まず、対数の性質を使って $\log_{10} (30^{30})$ を変形する。

$\log_{10} (30^{30}) = 30 \log_{10} 30$

次に、$\log_{10} 30$ を計算する。

$\log_{10} 30 = \log_{10} (3 \times 10) = \log_{10} 3 + \log_{10} 10 = \log_{10} 3 + 1$

$\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10} 30 = 0.4771 + 1 = 1.4771$

よって、

$\log_{10} (30^{30}) = 30 \times 1.4771 = 44.313$

$44.313$ の整数部分は 44 である。

したがって、$30^{30}$ の桁数は $44 + 1 = 45$ 桁である。

3. 最終的な答え

45 桁