与えられた数列の和 $T$ を求める問題です。 $T = 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $T$ を求める問題です。

$T = 50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$

2. 解き方の手順

この数列は、差の平方の形になっているので、以下の恒等式を利用します。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

この恒等式を用いて、数列をペアごとに計算します。

$T = (50^2 - 49^2) + (48^2 - 47^2) + \dots + (4^2 - 3^2) + (2^2 - 1^2)$

$T = (50+49)(50-49) + (48+47)(48-47) + \dots + (4+3)(4-3) + (2+1)(2-1)$

$T = (50+49)(1) + (48+47)(1) + \dots + (4+3)(1) + (2+1)(1)$

$T = (50+49) + (48+47) + \dots + (4+3) + (2+1)$

これは、1から50までの整数のうち、偶数番目と奇数番目を分けて足し合わせた数列になります。

$T = (1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 47 + 48 + 49 + 50)$

これは1から50までの和なので、等差数列の和の公式を利用します。

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ です。

ここで、$n = 50$, $a_1 = 1$, $a_n = 50$ です。

$T = \frac{50(1 + 50)}{2}$

$T = \frac{50 \times 51}{2}$

$T = 25 \times 51$

$T = 1275$

3. 最終的な答え

1275