与えられた複素数の方程式を解く問題です。 (1) $z^6 = -1$ (2) $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$

1. 問題の内容

与えられた複素数の方程式を解く問題です。

(1) $z^6 = -1$

(2) $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$

2. 解き方の手順

(1) $z^6 = -1$

-1を極形式で表すと、$-1 = \cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi) = e^{i(\pi + 2k\pi)}$ (kは整数)となります。

$z^6 = e^{i(\pi + 2k\pi)}$ の両辺の6乗根をとると、

$z = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3})}$ (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)

kの値を入れて、$z$を求めます。

(2) $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$

$-8 - 8\sqrt{3}i$ を極形式で表します。まず、絶対値を計算します。

$r = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$

次に、偏角 $\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ (kは整数)

したがって、$-8 - 8\sqrt{3}i = 16e^{i(\frac{4\pi}{3} + 2k\pi)}$ となります。

$z^4 = 16e^{i(\frac{4\pi}{3} + 2k\pi)}$ の両辺の4乗根をとると、

$z = \sqrt[4]{16} e^{i(\frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2})} = 2e^{i(\frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2})}$ (k = 0, 1, 2, 3)

kの値を入れて、$z$を求めます。

3. 最終的な答え

(1) $z^6 = -1$ の解は

$z = e^{i\frac{\pi}{6}}, e^{i\frac{\pi}{2}}, e^{i\frac{5\pi}{6}}, e^{i\frac{7\pi}{6}}, e^{i\frac{3\pi}{2}}, e^{i\frac{11\pi}{6}}$

これらを直交形式で表すと、

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i, -i, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $z^4 = -8 - 8\sqrt{3}i$ の解は

$z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}, 2e^{i\frac{5\pi}{6}}, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}, 2e^{i\frac{11\pi}{6}}$

これらを直交形式で表すと、

$z = 1 + \sqrt{3}i, -\sqrt{3} + i, -1 - \sqrt{3}i, \sqrt{3} - i$