与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。ここでは、(1)と(2)の問題を解きます。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 2n$ (2) $a_1 = 4, a_{n+1} - a_n = 3n^2$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。ここでは、(1)と(2)の問題を解きます。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 2n$

(2) $a_1 = 4, a_{n+1} - a_n = 3n^2$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 2n$ の場合

これは階差数列の問題です。 $a_{n+1} - a_n = 2n$ は、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{2n\}$ であることを意味します。

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$$

$$a_n = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k$$

$$a_n = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$$

$$a_n = 1 + n(n-1)$$

$$a_n = 1 + n^2 - n$$

$$a_n = n^2 - n + 1$$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ となり、与えられた条件と一致します。

(2) $a_1 = 4, a_{n+1} - a_n = 3n^2$ の場合

これも階差数列の問題です。 $a_{n+1} - a_n = 3n^2$ は、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{3n^2\}$ であることを意味します。

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k^2$$

$$a_n = 4 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2$$

$$a_n = 4 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$$

$$a_n = 4 + \frac{n(n-1)(2n-1)}{2}$$

$$a_n = 4 + \frac{n(2n^2 - 3n + 1)}{2}$$

$$a_n = 4 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{2}$$

$$a_n = \frac{8 + 2n^3 - 3n^2 + n}{2}$$

$$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 8}{2}$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 + 8}{2} = \frac{2 - 3 + 1 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$ となり、与えられた条件と一致します。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - n + 1$

(2) $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 8}{2}$