与えられた漸化式 $T_1(x) = x$, $T_2(x) = 2x^2 - 1$, $T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x) \ (n \geq 3)$ で定義される関数列 $\{T_n(x)\}$ について、以下の2つの問いに答える。 (1) $T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次式であることを示す。 (2) $T_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ であることを示す。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $T_1(x) = x$, $T_2(x) = 2x^2 - 1$, $T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x) \ (n \geq 3)$ で定義される関数列 $\{T_n(x)\}$ について、以下の2つの問いに答える。

(1) $T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次式であることを示す。

(2) $T_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法を用いて証明する。

* $n=1$ のとき、$T_1(x) = x$ は $x$ の1次式である。

* $n=2$ のとき、$T_2(x) = 2x^2 - 1$ は $x$ の2次式である。

* $n = k-1, k$ のとき、$T_{k-1}(x)$ が $x$ の $(k-1)$ 次式、$T_k(x)$ が $x$ の $k$ 次式であると仮定する。

$T_{k+1}(x) = 2xT_k(x) - T_{k-1}(x)$ を考える。

$2xT_k(x)$ は $x$ の $(k+1)$ 次式であり、$T_{k-1}(x)$ は $x$ の $(k-1)$ 次式であるから、$T_{k+1}(x)$ は $x$ の $(k+1)$ 次式となる。

したがって、すべての $n$ に対して $T_n(x)$ は $x$ の $n$ 次式である。

(2) 数学的帰納法を用いて証明する。

* $n=1$ のとき、$T_1(\cos \theta) = \cos \theta = \cos(1\cdot \theta)$ である。

* $n=2$ のとき、$T_2(\cos \theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = \cos 2\theta$ である。

* $n = k-1, k$ のとき、$T_{k-1}(\cos \theta) = \cos (k-1)\theta$, $T_k(\cos \theta) = \cos k\theta$ であると仮定する。

$T_{k+1}(\cos \theta) = 2\cos \theta T_k(\cos \theta) - T_{k-1}(\cos \theta)$

$= 2\cos \theta \cos k\theta - \cos (k-1)\theta$

三角関数の積和の公式より、$2\cos \theta \cos k\theta = \cos (k+1)\theta + \cos (k-1)\theta$ であるから、

$T_{k+1}(\cos \theta) = \cos (k+1)\theta + \cos (k-1)\theta - \cos (k-1)\theta = \cos (k+1)\theta$

したがって、すべての $n$ に対して $T_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ である。

3. 最終的な答え

(1) $T_n(x)$ は $x$ の $n$ 次式である。

(2) $T_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ である。