以下の3つの問題を解きます。 (1) 2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の頂点を求めます。 (2) 2次方程式 $x^2 - 2x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (3) 2次不等式 $-x^2 + 4x + 1 < 0$ を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題を解きます。

(1) 2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の頂点を求めます。

(2) 2次方程式 $x^2 - 2x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(3) 2次不等式 $-x^2 + 4x + 1 < 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の頂点を求めます。

まず、平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 3$

よって、頂点は $(-1, 3)$ となります。

(2) 2次方程式 $x^2 - 2x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ で、この場合は $a=1, b=-2, c=m$ なので、

$D = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m$

$D > 0$ となる条件は $4 - 4m > 0$ です。

$4 > 4m$

$1 > m$

したがって、$m < 1$ となります。

(3) 2次不等式 $-x^2 + 4x + 1 < 0$ を解きます。

まず、両辺に $-1$ をかけて不等号の向きを変えます。

$x^2 - 4x - 1 > 0$

次に、$x^2 - 4x - 1 = 0$ の解を求めます。解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x^2 - 4x - 1 > 0$ の解は $x < 2 - \sqrt{5}$ または $x > 2 + \sqrt{5}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点：$(-1, 3)$

(2) $m < 1$

(3) $x < 2 - \sqrt{5}$ または $x > 2 + \sqrt{5}$