袋の中に赤玉が2個、白玉が4個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、取り出した玉に含まれる赤玉の個数の期待値を求める問題です。具体的には、まず赤玉の個数が0, 1, 2である確率をそれぞれ求め、それらの確率を用いて赤玉の個数の期待値を求めます。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が2個、白玉が4個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、取り出した玉に含まれる赤玉の個数の期待値を求める問題です。具体的には、まず赤玉の個数が0, 1, 2である確率をそれぞれ求め、それらの確率を用いて赤玉の個数の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 赤玉の個数が0である確率

2個とも白玉である確率を求めます。

白玉4個から2個を選ぶ組み合わせの数は、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

6個の玉から2個を選ぶ組み合わせの数は、$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

したがって、赤玉が0個である確率は、$\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$です。(問題文に記載済み)

(2) 赤玉の個数が1である確率

赤玉1個と白玉1個を選ぶ確率を求めます。

赤玉1個を選ぶ組み合わせの数は、$_2C_1 = 2$通りです。

白玉1個を選ぶ組み合わせの数は、$_4C_1 = 4$通りです。

したがって、赤玉1個と白玉1個を選ぶ組み合わせの数は、$2 \times 4 = 8$通りです。

6個の玉から2個を選ぶ組み合わせの数は、$_6C_2 = 15$通りです。

したがって、赤玉が1個である確率は、$\frac{8}{15}$です。

(3) 赤玉の個数が2である確率

2個とも赤玉である確率を求めます。

赤玉2個から2個を選ぶ組み合わせの数は、$_2C_2 = 1$通りです。

6個の玉から2個を選ぶ組み合わせの数は、$_6C_2 = 15$通りです。

したがって、赤玉が2個である確率は、$\frac{1}{15}$です。

(4) 確率の合計

確率の合計は、$\frac{2}{5} + \frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$となります。

(5) 赤玉の個数の期待値

赤玉の個数の期待値は、赤玉の個数とそれぞれの確率を掛け合わせて合計したものです。

期待値 = $0 \times \frac{2}{5} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

赤玉の個数の期待値は$\frac{2}{3}$個です。