(8) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求めよ。 (9) $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{6}$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。 (10) $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{3}$, $c = 2$, $A = 150^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。

## 回答

1. **問題の内容**

(8) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求めよ。

(9) $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{6}$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。

(10) $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{3}$, $c = 2$, $A = 150^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。

2. **解き方の手順**

**(8)**

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求める。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$y = \sin \theta$ のグラフを考える。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = 60^\circ$ と $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ である。

**(9)**

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を用いる。

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$

$a = \frac{\sqrt{6} \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2$

**(10)**

余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ を用いる。

$a^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos 150^\circ$

$a^2 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 7 + 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 + 2 \cdot 3 = 7 + 6 = 13$

$a = \sqrt{13}$

$a > 0$ なので、$a = \sqrt{13}$

3. **最終的な答え**

(8) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(9) $a = 2$

(10) $a = \sqrt{13}$