(8) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求めよ。 (9) $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{6}$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。 (10) $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{3}$, $c = 2$, $A = 150^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。

1. 問題の内容

(8) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求めよ。

(9) $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{6}$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。

(10) $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{3}$, $c = 2$, $A = 150^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(8)

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で探します。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることは既知です。

また、$\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$ の関係から、$\sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

したがって、$\theta = 60^\circ$ と $\theta = 120^\circ$ が解となります。

(9)

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を用います。

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$

$a = \frac{\sqrt{6} \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2$

(10)

余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ を用います。

$a^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cos 150^\circ$

$a^2 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$a^2 = 7 + 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 + 4 \cdot \frac{3}{2} = 7 + 6 = 13$

$a = \sqrt{13}$

$a > 0$ より、$a = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(8)

$\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(9)

$a = 2$

(10)

$a = \sqrt{13}$