問題は、素数が無限に存在することを証明する穴埋め問題です。背理法を用いて証明を行います。

1. 問題の内容

問題は、素数が無限に存在することを証明する穴埋め問題です。背理法を用いて証明を行います。

2. 解き方の手順

まず、素数の個数が有限であると仮定し、その素数を $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ とおきます。

そして、$P = p_1p_2p_3...p_n + 1$ という数を考えます。

空欄1: 証明方法として、背理法を用いるため、選択肢①を選びます。

空欄2: 素数の個数は有限であると仮定しているので、選択肢①を選びます。

$P$ は $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ のいずれの素数よりも大きい整数であるため、

$P$ はこれらの素数と同じではありません。

空欄3: もし $P$ が素数ならば、仮定に反します。また、$P$ が合成数ならば、素因数分解でき、$P$ が、$p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ のいずれかで割り切れるとすると、$P- p_1p_2p_3...p_n=1$ は割り切れる必要がありますが、$1$を割り切る素数は存在しないので矛盾します。したがって、$P$は素数ではありません。よって選択肢②を選びます。

ところが、$P$ は $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ のいずれの素数で割っても、余りは1です。

$P = p_i \cdot Q_i + 1$

ここで、$Q_i$ は整数です。したがって、$P$ は $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ のいずれの素数でも割り切れません。

空欄4: 余りは1なので、1が入ります。

空欄5と6: $P$ は $p_1, p_2, ..., p_n$ 以外の正の約数を持つ可能性があるので、これらの素数以外に正の約数を持たないとは限りません。もし、$P$が$p_i$で割り切れるならば、余りは0になるはずなので、 $P$は$p_1, p_2, ..., p_n$では割り切れません。

ただし、問題文の誘導に従うと、$P$ は 1と $P$ 以外の正の約数を持たない、と考えることができます。すると、$P$ は素数となり、矛盾します。$P$ の約数に $n, P, p_1, p_n$ を入れることはできません。ここでは問題文の誘導に従い、$P$ は 1 と $P$ 以外に正の約数を持たないと考えます。

空欄5：1が入ります。

空欄6：$P$が入ります。

よって、$P$ は素数となり、仮定に矛盾します。したがって、素数は無限に存在します。

3. 最終的な答え

1: ①

2: ①

3: ②

4: 1

5: 1

6: ②