$\sqrt{22-3n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{22-3n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{22-3n}$ が整数となるためには、$22-3n$ が0以上の平方数である必要があります。

つまり、$22-3n = k^2$ となるような非負整数 $k$ が存在する必要があります。

$22-3n \geq 0$ である必要があるので、$3n \leq 22$ となり、$n \leq \frac{22}{3} = 7.333\dots$ となります。

$n$ は自然数なので、$n$ は 1 から 7 までの整数です。

$22-3n = k^2$ より、$3n = 22 - k^2$ となります。したがって、$22 - k^2$ は3の倍数である必要があります。

$k = 0$ のとき、$22 - k^2 = 22$ であり、3の倍数ではありません。

$k = 1$ のとき、$22 - k^2 = 21$ であり、3の倍数です。このとき、$3n = 21$ より $n = 7$。

$k = 2$ のとき、$22 - k^2 = 18$ であり、3の倍数です。このとき、$3n = 18$ より $n = 6$。

$k = 3$ のとき、$22 - k^2 = 13$ であり、3の倍数ではありません。

$k = 4$ のとき、$22 - k^2 = 6$ であり、3の倍数です。このとき、$3n = 6$ より $n = 2$。

$k = 5$ のとき、$22 - k^2 = -3$ であり、3の倍数ですが、$n$ は自然数なので $22-3n$ は0以上の整数である必要があり、不適。

したがって、$n = 2, 6, 7$ が解となります。

3. 最終的な答え

$n = 2, 6, 7$