$n > 1$ のとき、$n^7 - n$ が $42$ で割り切れることを示す問題です。

1. 問題の内容

$n > 1$ のとき、$n^7 - n$ が $42$ で割り切れることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n^7 - n$ を因数分解します。

$n^7 - n = n(n^6 - 1)$

$n^6 - 1 = (n^3 - 1)(n^3 + 1) = (n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)$

したがって、

$n^7 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$

さらに、

$n^7 - n = (n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$

ここで、$(n-1)n(n+1)$ は連続する3つの整数の積なので、2でも3でも割り切れます。

したがって、$n^7 - n$ は2でも3でも割り切れます。

次に、$n^7 - n$ が7で割り切れることを示します。

フェルマーの小定理より、$n^p \equiv n \pmod{p}$ （$p$は素数）なので、

$n^7 \equiv n \pmod{7}$

したがって、$n^7 - n \equiv 0 \pmod{7}$

よって、$n^7 - n$ は7で割り切れます。

$n^7 - n$ は2, 3, 7で割り切れるので、2 x 3 x 7 = 42 で割り切れます。

3. 最終的な答え

$n > 1$ のとき、$n^7 - n$ は $42$ で割り切れる。