$n > 1$ のとき、$n^7 - n$ が42で割り切れることを示す問題です。

1. 問題の内容

$n > 1$ のとき、$n^7 - n$ が42で割り切れることを示す問題です。

2. 解き方の手順

$n^7 - n$ が42で割り切れることを示すには、$n^7 - n$ が2, 3, 7で割り切れることを示せばよいです。なぜなら、$42 = 2 \times 3 \times 7$ であり、2, 3, 7が互いに素だからです。

まず、$n^7 - n$を因数分解します。

$n^7 - n = n(n^6 - 1) = n(n^3 - 1)(n^3 + 1) = n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)$

$= (n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$

(1) 2で割り切れること：

$(n-1)n(n+1)$は連続する3つの整数の積なので、$n-1$, $n$, $n+1$のいずれかは偶数です。したがって、$n^7-n$は2で割り切れます。

(2) 3で割り切れること：

$(n-1)n(n+1)$は連続する3つの整数の積なので、$n-1$, $n$, $n+1$のいずれかは3の倍数です。したがって、$n^7-n$は3で割り切れます。

(3) 7で割り切れること：

フェルマーの小定理より、$n$が素数$p$と互いに素な整数のとき、$n^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ が成り立ちます。

したがって、$n^6 \equiv 1 \pmod{7}$ が成り立ちます。

よって、$n^7 \equiv n \pmod{7}$ が成り立ちます。

これは、$n^7 - n \equiv 0 \pmod{7}$ を意味し、$n^7 - n$は7で割り切れます。

あるいは、

$n^7 - n = n(n^6 - 1)$

$n^6 - 1 = (n-1)(n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1)$

ここで、$n \equiv 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \pmod{7}$のいずれかです。

$n \equiv 0 \pmod{7}$のとき、$n^7 - n \equiv 0 \pmod{7}$

$n \equiv 1 \pmod{7}$のとき、$n^7 - n \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{7}$

$n \equiv 2 \pmod{7}$のとき、$n^7 - n \equiv 2^7 - 2 \equiv 128 - 2 \equiv 126 \equiv 0 \pmod{7}$

$n \equiv 3 \pmod{7}$のとき、$n^7 - n \equiv 3^7 - 3 \equiv 2187 - 3 \equiv 2184 \equiv 0 \pmod{7}$

$n \equiv 4 \pmod{7}$のとき、$n^7 - n \equiv 4^7 - 4 \equiv 16384 - 4 \equiv 16380 \equiv 0 \pmod{7}$

$n \equiv 5 \pmod{7}$のとき、$n^7 - n \equiv 5^7 - 5 \equiv 78125 - 5 \equiv 78120 \equiv 0 \pmod{7}$

$n \equiv 6 \pmod{7}$のとき、$n^7 - n \equiv 6^7 - 6 \equiv 279936 - 6 \equiv 279930 \equiv 0 \pmod{7}$

よって、$n^7 - n$は7で割り切れます。

以上より、$n^7 - n$は2, 3, 7で割り切れるため、$n^7 - n$は42で割り切れます。

3. 最終的な答え

$n > 1$ のとき、$n^7 - n$ は 42 で割り切れる。